Question

LCP 22. 黑白方格画

题目描述

小扣注意到秋日市集上有一个创作黑白方格画的摊位。摊主给每个顾客提供一个固定在墙上的白色画板，画板不能转动。画板上有 n * n 的网格。绘画规则为，小扣可以选择任意多行以及任意多列的格子涂成黑色（选择的整行、整列均需涂成黑色），所选行数、列数均可为 0。

小扣希望最终的成品上需要有 k 个黑色格子，请返回小扣共有多少种涂色方案。

注意：两个方案中任意一个相同位置的格子颜色不同，就视为不同的方案。

示例 1：

输入：n = 2, k = 2

输出：4

解释：一共有四种不同的方案： 第一种方案：涂第一列； 第二种方案：涂第二列； 第三种方案：涂第一行； 第四种方案：涂第二行。

示例 2：

输入：n = 2, k = 1

输出：0

解释：不可行，因为第一次涂色至少会涂两个黑格。

示例 3：

输入：n = 2, k = 4

输出：1

解释：共有 2*2=4 个格子，仅有一种涂色方案。

限制：

• 1 <= n <= 6
• 0 <= k <= n * n

解法

方法一：组合计数

我们可以选择涂黑 $n$ 行中的任意 $i$ 行，涂黑 $n$ 列中的任意 $j$ 列。那么涂黑的格子数为 $n \times (i + j) - i \times j$。如果满足 $n \times (i + j) - i \times j = k$，则方案数为 $\binom{n}{i} \times \binom{n}{j}$。累加所有满足条件的方案数即可。

注意，如果 $k = n \times n$，则只有一种方案，直接返回 $1$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是网格的边长。

class Solution:
  def paintingPlan(self, n: int, k: int) -> int:
    if k == n * n:
      return 1
    ans = 0
    for i in range(n + 1):
      for j in range(n + 1):
        if n * (i + j) - i * j == k:
          ans += comb(n, i) * comb(n, j)
    return ans

class Solution {
  public int paintingPlan(int n, int k) {
    if (k == n * n) {
      return 1;
    }
    int[][] c = new int[n + 1][n + 1];
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      c[i][0] = 1;
      for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
      }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      for (int j = 0; j <= n; ++j) {
        if (n * (i + j) - i * j == k) {
          ans += c[n][i] * c[n][j];
        }
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int paintingPlan(int n, int k) {
    if (k == n * n) {
      return 1;
    }
    int c[n + 1][n + 1];
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      c[i][0] = 1;
      for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
      }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      for (int j = 0; j <= n; ++j) {
        if (n * (i + j) - i * j == k) {
          ans += c[n][i] * c[n][j];
        }
      }
    }
    return ans;
  }
};

func paintingPlan(n int, k int) (ans int) {
  if k == n*n {
    return 1
  }
  c := make([][]int, n+1)
  for i := range c {
    c[i] = make([]int, n+1)
  }
  for i := 0; i <= n; i++ {
    c[i][0] = 1
    for j := 1; j <= i; j++ {
      c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1]
    }
  }
  for i := 0; i <= n; i++ {
    for j := 0; j <= n; j++ {
      if n*(i+j)-i*j == k {
        ans += c[n][i] * c[n][j]
      }
    }
  }
  return
}

function paintingPlan(n: number, k: number): number {
  if (k === n * n) {
    return 1;
  }
  const c: number[][] = Array(n + 1)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n + 1).fill(0));
  for (let i = 0; i <= n; ++i) {
    c[i][0] = 1;
    for (let j = 1; j <= i; ++j) {
      c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
    }
  }
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i <= n; ++i) {
    for (let j = 0; j <= n; ++j) {
      if (n * (i + j) - i * j === k) {
        ans += c[n][i] * c[n][j];
      }
    }
  }
  return ans;
}