Question

902. 最大为 N 的数字组合

English Version

题目描述

给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组

 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如，如果 digits = ['1','3','5']，我们可以写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。

返回 _可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数_ 。

 

示例 1：

输入：digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出：20
解释：
可写出的 20 个数字是：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.

示例 2：

输入：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出：29523
解释：
我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。

示例 3:

输入：digits = ["7"], n = 8
输出：1

 

提示：

• 1 <= digits.length <= 9
• digits[i].length == 1
• digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数
• digits 中的所有值都 不同 
• digits 按 非递减顺序 排列
• 1 <= n <= 109

解法

方法一：数位 DP

这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，由 digits 中的数字生成的正整数的个数。个数与数的位数以及每一位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。

对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：

$$ ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i $$

不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。

这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

1. 将数字 $n$ 转为 int 数组 $a$，其中 $a[1]$ 为最低位，而 $a[len]$ 为最高位；
2. 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, lead, limit)$，答案为 $dfs(len, 1, true)$。

其中：

• pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；
• lead 表示当前数字中是否包含前导零，如果包含，则为 1，否则为 0；初始化为 1；
• limit 表示可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $[0,1,..9]$，否则，只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 limit 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 limit 同样为 true；如果 limit 为 true 但是还没有取到最大值，或者 limit 为 false，那么下一个 limit 为 false。

关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。

时间复杂度 $O(\log n)$。

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class Solution:
  def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
    @cache
    def dfs(pos, lead, limit):
      if pos <= 0:
        return lead == False
      up = a[pos] if limit else 9
      ans = 0
      for i in range(up + 1):
        if i == 0 and lead:
          ans += dfs(pos - 1, lead, limit and i == up)
        elif i in s:
          ans += dfs(pos - 1, False, limit and i == up)
      return ans

    l = 0
    a = [0] * 12
    s = {int(d) for d in digits}
    while n:
      l += 1
      a[l] = n % 10
      n //= 10
    return dfs(l, True, True)

class Solution {
  private int[] a = new int[12];
  private int[][] dp = new int[12][2];
  private Set<Integer> s = new HashSet<>();

  public int atMostNGivenDigitSet(String[] digits, int n) {
    for (var e : dp) {
      Arrays.fill(e, -1);
    }
    for (String d : digits) {
      s.add(Integer.parseInt(d));
    }
    int len = 0;
    while (n > 0) {
      a[++len] = n % 10;
      n /= 10;
    }
    return dfs(len, 1, true);
  }

  private int dfs(int pos, int lead, boolean limit) {
    if (pos <= 0) {
      return lead ^ 1;
    }
    if (!limit && lead != 1 && dp[pos][lead] != -1) {
      return dp[pos][lead];
    }
    int ans = 0;
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (i == 0 && lead == 1) {
        ans += dfs(pos - 1, lead, limit && i == up);
      } else if (s.contains(i)) {
        ans += dfs(pos - 1, 0, limit && i == up);
      }
    }
    if (!limit && lead == 0) {
      dp[pos][lead] = ans;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int a[12];
  int dp[12][2];
  unordered_set<int> s;

  int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    for (auto& d : digits) {
      s.insert(stoi(d));
    }
    int len = 0;
    while (n) {
      a[++len] = n % 10;
      n /= 10;
    }
    return dfs(len, 1, true);
  }

  int dfs(int pos, int lead, bool limit) {
    if (pos <= 0) {
      return lead ^ 1;
    }
    if (!limit && !lead && dp[pos][lead] != -1) {
      return dp[pos][lead];
    }
    int ans = 0;
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (i == 0 && lead) {
        ans += dfs(pos - 1, lead, limit && i == up);
      } else if (s.count(i)) {
        ans += dfs(pos - 1, 0, limit && i == up);
      }
    }
    if (!limit && !lead) {
      dp[pos][lead] = ans;
    }
    return ans;
  }
};

func atMostNGivenDigitSet(digits []string, n int) int {
  s := map[int]bool{}
  for _, d := range digits {
    i, _ := strconv.Atoi(d)
    s[i] = true
  }
  a := make([]int, 12)
  dp := make([][2]int, 12)
  for i := range a {
    dp[i] = [2]int{-1, -1}
  }
  l := 0
  for n > 0 {
    l++
    a[l] = n % 10
    n /= 10
  }
  var dfs func(int, int, bool) int
  dfs = func(pos, lead int, limit bool) int {
    if pos <= 0 {
      return lead ^ 1
    }
    if !limit && lead == 0 && dp[pos][lead] != -1 {
      return dp[pos][lead]
    }
    up := 9
    if limit {
      up = a[pos]
    }
    ans := 0
    for i := 0; i <= up; i++ {
      if i == 0 && lead == 1 {
        ans += dfs(pos-1, lead, limit && i == up)
      } else if s[i] {
        ans += dfs(pos-1, 0, limit && i == up)
      }
    }
    if !limit {
      dp[pos][lead] = ans
    }
    return ans
  }
  return dfs(l, 1, true)
}