Question

2304. 网格中的最小路径代价

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数矩阵 grid ，矩阵大小为 m x n ，由从 0 到 m * n - 1 的不同整数组成。你可以在此矩阵中，从一个单元格移动到 下一行 的任何其他单元格。如果你位于单元格 (x, y) ，且满足 x < m - 1 ，你可以移动到 (x + 1, 0), (x + 1, 1), ..., (x + 1, n - 1) 中的任何一个单元格。注意： 在最后一行中的单元格不能触发移动。

每次可能的移动都需要付出对应的代价，代价用一个下标从 0 开始的二维数组 moveCost 表示，该数组大小为 (m * n) x n ，其中 moveCost[i][j] 是从值为 i 的单元格移动到下一行第 j 列单元格的代价。从 grid 最后一行的单元格移动的代价可以忽略。

grid 一条路径的代价是：所有路径经过的单元格的 值之和 加上 所有移动的 代价之和 。从 第一行 任意单元格出发，返回到达 最后一行 任意单元格的最小路径代价_。_

 

示例 1：

输入：grid = [[5,3],[4,0],[2,1]], moveCost = [[9,8],[1,5],[10,12],[18,6],[2,4],[14,3]]
输出：17
解释：最小代价的路径是 5 -> 0 -> 1 。
- 路径途经单元格值之和 5 + 0 + 1 = 6 。
- 从 5 移动到 0 的代价为 3 。
- 从 0 移动到 1 的代价为 8 。
路径总代价为 6 + 3 + 8 = 17 。

示例 2：

输入：grid = [[5,1,2],[4,0,3]], moveCost = [[12,10,15],[20,23,8],[21,7,1],[8,1,13],[9,10,25],[5,3,2]]
输出：6
解释：
最小代价的路径是 2 -> 3 。 
- 路径途经单元格值之和 2 + 3 = 5 。 
- 从 2 移动到 3 的代价为 1 。 
路径总代价为 5 + 1 = 6 。

 

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 2 <= m, n <= 50
• grid 由从 0 到 m * n - 1 的不同整数组成
• moveCost.length == m * n
• moveCost[i].length == n
• 1 <= moveCost[i][j] <= 100

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示从第一行出发，到达第 $i$ 行第 $j$ 列的最小路径代价。由于每次只能从上一行的某一列移动到当前行的某一列，因此 $f[i][j]$ 的值可以从 $f[i - 1][k]$ 转移而来，其中 $k$ 的取值范围为 $[0, n - 1]$。因此状态转移方程为：

$$ f[i][j] = \min_{0 \leq k < n} {f[i - 1][k] + \text{moveCost}[grid[i - 1][k]][j] + grid[i][j]} $$

其中 $\text{moveCost}[grid[i - 1][k]][j]$ 表示从第 $i - 1$ 行第 $k$ 列移动到第 $i$ 行第 $j$ 列的代价。

最终答案即为 $\min_{0 \leq j < n} {f[m - 1][j]}$。

由于每次转移只需要用到上一行的状态，因此我们可以使用滚动数组的方式，将空间复杂度优化到 $O(n)$。

时间复杂度 $O(m \times n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为网格的行数和列数。

class Solution:
  def minPathCost(self, grid: List[List[int]], moveCost: List[List[int]]) -> int:
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    f = grid[0]
    for i in range(1, m):
      g = [inf] * n
      for j in range(n):
        for k in range(n):
          g[j] = min(g[j], f[k] + moveCost[grid[i - 1][k]][j] + grid[i][j])
      f = g
    return min(f)

class Solution {
  public int minPathCost(int[][] grid, int[][] moveCost) {
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    int[] f = grid[0];
    final int inf = 1 << 30;
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      int[] g = new int[n];
      Arrays.fill(g, inf);
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
          g[j] = Math.min(g[j], f[k] + moveCost[grid[i - 1][k]][j] + grid[i][j]);
        }
      }
      f = g;
    }

    // return Arrays.stream(f).min().getAsInt();
    int ans = inf;
    for (int v : f) {
      ans = Math.min(ans, v);
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int minPathCost(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<int>>& moveCost) {
    int m = grid.size(), n = grid[0].size();
    const int inf = 1 << 30;
    vector<int> f = grid[0];
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      vector<int> g(n, inf);
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
          g[j] = min(g[j], f[k] + moveCost[grid[i - 1][k]][j] + grid[i][j]);
        }
      }
      f = move(g);
    }
    return *min_element(f.begin(), f.end());
  }
};

func minPathCost(grid [][]int, moveCost [][]int) int {
  m, n := len(grid), len(grid[0])
  f := grid[0]
  for i := 1; i < m; i++ {
    g := make([]int, n)
    for j := 0; j < n; j++ {
      g[j] = 1 << 30
      for k := 0; k < n; k++ {
        g[j] = min(g[j], f[k]+moveCost[grid[i-1][k]][j]+grid[i][j])
      }
    }
    f = g
  }
  return slices.Min(f)
}

function minPathCost(grid: number[][], moveCost: number[][]): number {
  const m = grid.length;
  const n = grid[0].length;
  const f = grid[0];
  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    const g: number[] = Array(n).fill(Infinity);
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      for (let k = 0; k < n; ++k) {
        g[j] = Math.min(g[j], f[k] + moveCost[grid[i - 1][k]][j] + grid[i][j]);
      }
    }
    f.splice(0, n, ...g);
  }
  return Math.min(...f);
}

impl Solution {
  pub fn min_path_cost(grid: Vec<Vec<i32>>, move_cost: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
    let m = grid.len();
    let n = grid[0].len();
    let mut f = grid[0].clone();

    for i in 1..m {
      let mut g: Vec<i32> = vec![i32::MAX; n];
      for j in 0..n {
        for k in 0..n {
          g[j] = g[j].min(f[k] + move_cost[grid[i - 1][k] as usize][j] + grid[i][j]);
        }
      }
      f.copy_from_slice(&g);
    }

    f.iter().cloned().min().unwrap_or(0)
  }
}