Question

1976. 到达目的地的方案数

English Version

题目描述

你在一个城市里，城市由 n 个路口组成，路口编号为 0 到 n - 1 ，某些路口之间有 双向 道路。输入保证你可以从任意路口出发到达其他任意路口，且任意两个路口之间最多有一条路。

给你一个整数 n 和二维整数数组 roads ，其中 roads[i] = [ui, vi, timei] 表示在路口 ui 和 vi 之间有一条需要花费 timei 时间才能通过的道路。你想知道花费 最少时间 从路口 0 出发到达路口 n - 1 的方案数。

请返回花费 最少时间 到达目的地的 路径数目 。由于答案可能很大，将结果对 109 + 7 取余 后返回。

 

示例 1：

输入：n = 7, roads = [[0,6,7],[0,1,2],[1,2,3],[1,3,3],[6,3,3],[3,5,1],[6,5,1],[2,5,1],[0,4,5],[4,6,2]]
输出：4
解释：从路口 0 出发到路口 6 花费的最少时间是 7 分钟。
四条花费 7 分钟的路径分别为：
- 0 ➝ 6
- 0 ➝ 4 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 2 ➝ 5 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 3 ➝ 5 ➝ 6

示例 2：

输入：n = 2, roads = [[1,0,10]]
输出：1
解释：只有一条从路口 0 到路口 1 的路，花费 10 分钟。

 

提示：

• 1 <= n <= 200
• n - 1 <= roads.length <= n * (n - 1) / 2
• roads[i].length == 3
• 0 <= ui, vi <= n - 1
• 1 <= timei <= 109
• ui != vi
• 任意两个路口之间至多有一条路。
• 从任意路口出发，你能够到达其他任意路口。

解法

方法一：朴素 Dijkstra 算法

我们定义以下几个数组，其中：

• g 表示图的邻接矩阵，g[i][j] 表示点 i 到点 j 的最短路径长度，初始时全部为 $\infty$，而 g[0][0] 为 $0$；然后我们遍历 roads，将 g[u][v] 和 g[v][u] 更新为 t；
• dist[i] 表示从起点到点 i 的最短路径长度，初始时全部为 $\infty$，而 dist[0] 为 $0$；
• f[i] 表示从起点到点 i 的最短路径的条数，初始时全部为 $0$，而 f[0] 为 $1$；
• vis[i] 表示点 i 是否已经被访问过，初始时全部为 False。

然后，我们使用朴素 Dijkstra 算法求出从起点到终点的最短路径长度，过程中同时记录下每个点的最短路径的条数。

最后，我们返回 f[n - 1] 即可。由于答案可能很大，我们需要对 $10^9 + 7$ 取模。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为点的个数。

class Solution:
  def countPaths(self, n: int, roads: List[List[int]]) -> int:
    g = [[inf] * n for _ in range(n)]
    for u, v, t in roads:
      g[u][v] = g[v][u] = t
    g[0][0] = 0
    dist = [inf] * n
    dist[0] = 0
    f = [0] * n
    f[0] = 1
    vis = [False] * n
    for _ in range(n):
      t = -1
      for j in range(n):
        if not vis[j] and (t == -1 or dist[j] < dist[t]):
          t = j
      vis[t] = True
      for j in range(n):
        if j == t:
          continue
        ne = dist[t] + g[t][j]
        if dist[j] > ne:
          dist[j] = ne
          f[j] = f[t]
        elif dist[j] == ne:
          f[j] += f[t]
    mod = 10**9 + 7
    return f[-1] % mod

class Solution {
  public int countPaths(int n, int[][] roads) {
    final long inf = Long.MAX_VALUE / 2;
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    long[][] g = new long[n][n];
    for (var e : g) {
      Arrays.fill(e, inf);
    }
    for (var r : roads) {
      int u = r[0], v = r[1], t = r[2];
      g[u][v] = t;
      g[v][u] = t;
    }
    g[0][0] = 0;
    long[] dist = new long[n];
    Arrays.fill(dist, inf);
    dist[0] = 0;
    long[] f = new long[n];
    f[0] = 1;
    boolean[] vis = new boolean[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int t = -1;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) {
          t = j;
        }
      }
      vis[t] = true;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (j == t) {
          continue;
        }
        long ne = dist[t] + g[t][j];
        if (dist[j] > ne) {
          dist[j] = ne;
          f[j] = f[t];
        } else if (dist[j] == ne) {
          f[j] = (f[j] + f[t]) % mod;
        }
      }
    }
    return (int) f[n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int countPaths(int n, vector<vector<int>>& roads) {
    const long long inf = LLONG_MAX / 2;
    const int mod = 1e9 + 7;

    vector<vector<long long>> g(n, vector<long long>(n, inf));
    for (auto& e : g) {
      fill(e.begin(), e.end(), inf);
    }

    for (auto& r : roads) {
      int u = r[0], v = r[1], t = r[2];
      g[u][v] = t;
      g[v][u] = t;
    }

    g[0][0] = 0;

    vector<long long> dist(n, inf);
    fill(dist.begin(), dist.end(), inf);
    dist[0] = 0;

    vector<long long> f(n);
    f[0] = 1;

    vector<bool> vis(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int t = -1;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) {
          t = j;
        }
      }
      vis[t] = true;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (j == t) {
          continue;
        }
        long long ne = dist[t] + g[t][j];
        if (dist[j] > ne) {
          dist[j] = ne;
          f[j] = f[t];
        } else if (dist[j] == ne) {
          f[j] = (f[j] + f[t]) % mod;
        }
      }
    }
    return (int) f[n - 1];
  }
};

func countPaths(n int, roads [][]int) int {
  const inf = math.MaxInt64 / 2
  const mod = int(1e9 + 7)

  g := make([][]int, n)
  dist := make([]int, n)
  for i := range g {
    g[i] = make([]int, n)
    for j := range g[i] {
      g[i][j] = inf
      dist[i] = inf
    }
  }

  for _, r := range roads {
    u, v, t := r[0], r[1], r[2]
    g[u][v] = t
    g[v][u] = t
  }

  f := make([]int, n)
  vis := make([]bool, n)
  f[0] = 1
  g[0][0] = 0
  dist[0] = 0

  for i := 0; i < n; i++ {
    t := -1
    for j := 0; j < n; j++ {
      if !vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]) {
        t = j
      }
    }
    vis[t] = true
    for j := 0; j < n; j++ {
      if j == t {
        continue
      }
      ne := dist[t] + g[t][j]
      if dist[j] > ne {
        dist[j] = ne
        f[j] = f[t]
      } else if dist[j] == ne {
        f[j] = (f[j] + f[t]) % mod
      }
    }
  }
  return f[n-1]
}

function countPaths(n: number, roads: number[][]): number {
  const mod: number = 1e9 + 7;
  const g: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(Infinity));
  for (const [u, v, t] of roads) {
    g[u][v] = t;
    g[v][u] = t;
  }
  g[0][0] = 0;

  const dist: number[] = Array(n).fill(Infinity);
  dist[0] = 0;

  const f: number[] = Array(n).fill(0);
  f[0] = 1;

  const vis: boolean[] = Array(n).fill(false);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    let t: number = -1;
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (!vis[j] && (t === -1 || dist[j] < dist[t])) {
        t = j;
      }
    }
    vis[t] = true;
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (j === t) {
        continue;
      }
      const ne: number = dist[t] + g[t][j];
      if (dist[j] > ne) {
        dist[j] = ne;
        f[j] = f[t];
      } else if (dist[j] === ne) {
        f[j] = (f[j] + f[t]) % mod;
      }
    }
  }
  return f[n - 1];
}