Question

1835. 所有数对按位与结果的异或和

English Version

题目描述

列表的 异或和（XOR sum）指对所有元素进行按位 XOR 运算的结果。如果列表中仅有一个元素，那么其 异或和 就等于该元素。

• 例如，[1,2,3,4] 的 异或和 等于 1 XOR 2 XOR 3 XOR 4 = 4 ，而 [3] 的 异或和 等于 3 。

给你两个下标 从 0 开始 计数的数组 arr1 和 arr2 ，两数组均由非负整数组成。

根据每个 (i, j) 数对，构造一个由 arr1[i] AND arr2[j]（按位 AND 运算）结果组成的列表。其中 0 <= i < arr1.length 且 0 <= j < arr2.length 。

返回上述列表的 异或和 。

 

示例 1：

输入：arr1 = [1,2,3], arr2 = [6,5]
输出：0
解释：列表 = [1 AND 6, 1 AND 5, 2 AND 6, 2 AND 5, 3 AND 6, 3 AND 5] = [0,1,2,0,2,1] ，
异或和 = 0 XOR 1 XOR 2 XOR 0 XOR 2 XOR 1 = 0 。

示例 2：

输入：arr1 = [12], arr2 = [4]
输出：4
解释：列表 = [12 AND 4] = [4] ，异或和 = 4 。

 

提示：

• 1 <= arr1.length, arr2.length <= 105
• 0 <= arr1[i], arr2[j] <= 109

解法

方法一：位运算

假设数组 $arr1$ 的元素分别为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，数组 $arr2$ 的元素分别为 $b_1, b_2, \cdots, b_m$，那么题目答案为：

$$ \begin{aligned} \text{ans} &= (a_1 \wedge b_1) \oplus (a_1 \wedge b_2) … (a_1 \wedge b_m) \ &\quad \oplus (a_2 \wedge b_1) \oplus (a_2 \wedge b_2) … (a_2 \wedge b_m) \ &\quad \oplus \cdots \ &\quad \oplus (a_n \wedge b_1) \oplus (a_n \wedge b_2) … (a_n \wedge b_m) \ \end{aligned} $$

由于布尔代数中，异或运算就是不进位的加法，与运算就是乘法，所以上式可以简化为：

$$ \text{ans} = (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n) \wedge (b_1 \oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_m) $$

即，数组 $arr1$ 的异或和与数组 $arr2$ 的异或和的与运算结果。

时间复杂度 $O(n + m)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为数组 $arr1$ 和 $arr2$ 的长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def getXORSum(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
    a = reduce(xor, arr1)
    b = reduce(xor, arr2)
    return a & b

class Solution {
  public int getXORSum(int[] arr1, int[] arr2) {
    int a = 0, b = 0;
    for (int v : arr1) {
      a ^= v;
    }
    for (int v : arr2) {
      b ^= v;
    }
    return a & b;
  }
}

class Solution {
public:
  int getXORSum(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) {
    int a = accumulate(arr1.begin(), arr1.end(), 0, bit_xor<int>());
    int b = accumulate(arr2.begin(), arr2.end(), 0, bit_xor<int>());
    return a & b;
  }
};

func getXORSum(arr1 []int, arr2 []int) int {
  var a, b int
  for _, v := range arr1 {
    a ^= v
  }
  for _, v := range arr2 {
    b ^= v
  }
  return a & b
}

function getXORSum(arr1: number[], arr2: number[]): number {
  const a = arr1.reduce((acc, x) => acc ^ x);
  const b = arr2.reduce((acc, x) => acc ^ x);
  return a & b;
}