Question

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

8.2.1   借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。

设元素数量为 \(n\) ，每个元素的入堆操作使用 \(O(\log{n})\) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

8.2.2   通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

1. 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
2. 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是，由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：

my_heap.py

def __init__(self, nums: list[int]):
    """构造方法，根据输入列表建堆"""
    # 将列表元素原封不动添加进堆
    self.max_heap = nums
    # 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
        self.sift_down(i)

my_heap.cpp

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

my_heap.java

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

my_heap.cs

/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new List<int>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    var size = Parent(this.Size() - 1);
    for (int i = size; i >= 0; i--) {
        SiftDown(i);
    }
}

my_heap.go

/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}

my_heap.swift

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() {
        siftDown(i: i)
    }
}

my_heap.js

/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.#siftDown(i);
    }
}

my_heap.ts

/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums?: number[]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.siftDown(i);
    }
}

my_heap.dart

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<int> nums) {
  // 将列表元素原封不动添加进堆
  _maxHeap = nums;
  // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
  for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
    siftDown(i);
  }
}

my_heap.rs

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
        heap.sift_down(i);
    }
    heap
}

my_heap.c

/* 构造函数，根据切片建堆 */
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
    // 所有元素入堆
    MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
    maxHeap->size = size;
    memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
    for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        siftDown(maxHeap, i);
    }
    return maxHeap;
}

my_heap.kt

/* 大顶堆 */
class MaxHeap(nums: MutableList<Int>?) {
    // 使用列表而非数组，这样无须考虑扩容问题
    private val maxHeap = mutableListOf<Int>()

    /* 构造方法，根据输入列表建堆 */
    init {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        maxHeap.addAll(nums!!)
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (i in parent(size() - 1) downTo 0) {
            siftDown(i)
        }
    }

    /* 获取左子节点的索引 */
    private fun left(i: Int): Int {
        return 2 * i + 1
    }

    /* 获取右子节点的索引 */
    private fun right(i: Int): Int {
        return 2 * i + 2
    }

    /* 获取父节点的索引 */
    private fun parent(i: Int): Int {
        return (i - 1) / 2 // 向下整除
    }

    /* 交换元素 */
    private fun swap(i: Int, j: Int) {
        val temp = maxHeap[i]
        maxHeap[i] = maxHeap[j]
        maxHeap[j] = temp
    }

    /* 获取堆大小 */
    fun size(): Int {
        return maxHeap.size
    }

    /* 判断堆是否为空 */
    fun isEmpty(): Boolean {
        /* 判断堆是否为空 */
        return size() == 0
    }

    /* 访问堆顶元素 */
    fun peek(): Int {
        return maxHeap[0]
    }

    /* 元素入堆 */
    fun push(_val: Int) {
        // 添加节点
        maxHeap.add(_val)
        // 从底至顶堆化
        siftUp(size() - 1)
    }

    /* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
    private fun siftUp(it: Int) {
        // Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量
        var i = it
        while (true) {
            // 获取节点 i 的父节点
            val p = parent(i)
            // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
            if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
            // 交换两节点
            swap(i, p)
            // 循环向上堆化
            i = p
        }
    }

    /* 元素出堆 */
    fun pop(): Int {
        // 判空处理
        if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(0, size() - 1)
        // 删除节点
        val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
        // 从顶至底堆化
        siftDown(0)
        // 返回堆顶元素
        return _val
    }

    /* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
    private fun siftDown(it: Int) {
        // Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量
        var i = it
        while (true) {
            // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
            val l = left(i)
            val r = right(i)
            var ma = i
            if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
            if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
            // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
            if (ma == i) break
            // 交换两节点
            swap(i, ma)
            // 循环向下堆化
            i = ma
        }
    }

    /* 打印堆（二叉树） */
    fun print() {
        val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
        queue.addAll(maxHeap)
        printHeap(queue)
    }
}

my_heap.rb

### 构造方法，根据输入列表建堆 ###
def initialize(nums)
  # 将列表元素原封不动添加进堆
  @max_heap = nums
  # 堆化除叶节点以外的其他所有节点
  parent(size - 1).downto(0) do |i|
    sift_down(i)
  end
end

my_heap.zig

// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
    if (self.max_heap != null) return;
    self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
    while (i > 0) : (i -= 1) {
        try self.siftDown(i - 1);
    }
}

8.2.3   复杂度分析

下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

• 假设完全二叉树的节点数量为 \(n\) ，则叶节点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 \((n - 1) / 2\) 。
• 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(\log n\) 。

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 \(n\) 、高度为 \(h\) 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。

图 8-5   完美二叉树的各层节点数量

如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 \(\times\) 节点高度”求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

\[ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1 \]

化简上式需要借助中学的数列知识，先将 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到：

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} \]

使用错位相减法，用下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得：

\[ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h \]

观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned} \]

进一步，高度为 \(h\) 的完美二叉树的节点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。