Question

堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图 8-1 所示。

• 小顶堆（min heap）：任意节点的值 \(\leq\) 其子节点的值。
• 大顶堆（max heap）：任意节点的值 \(\geq\) 其子节点的值。

图 8-1   小顶堆与大顶堆

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

8.1.1   堆的常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列（priority queue），这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

堆的常用操作见表 8-1 ，方法名需要根据编程语言来确定。

表 8-1   堆的操作效率

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	\(O(\log n)\)
pop()	堆顶元素出堆	\(O(\log n)\)
peek()	访问堆顶元素（对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	\(O(1)\)
size()	获取堆的元素数量	\(O(1)\)
isEmpty()	判断堆是否为空	\(O(1)\)

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：

heap.py

# 初始化小顶堆
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大顶堆
max_heap, flag = [], -1

# Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
# 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆
# 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆

# 元素入堆
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)

# 获取堆顶元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5

# 堆顶元素出堆
# 出堆元素会形成一个从大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1

# 获取堆大小
size: int = len(max_heap)

# 判断堆是否为空
is_empty: bool = not max_heap

# 输入列表并建堆
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)

heap.cpp

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大顶堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;

/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();

/* 输入列表并建堆 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());

heap.java

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

heap.cs

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));

/* 元素入堆 */
maxHeap.Enqueue(1, 1);
maxHeap.Enqueue(3, 3);
maxHeap.Enqueue(2, 2);
maxHeap.Enqueue(5, 5);
maxHeap.Enqueue(4, 4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.Peek();//5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.Dequeue();  // 5
peek = maxHeap.Dequeue();  // 4
peek = maxHeap.Dequeue();  // 3
peek = maxHeap.Dequeue();  // 2
peek = maxHeap.Dequeue();  // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.Count;

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);

heap.go

// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any

// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
    // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
    // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
    *h = append(*h, x.(int))
}

// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
    // 待出堆元素存放在最后
    last := (*h)[len(*h)-1]
    *h = (*h)[:len(*h)-1]
    return last
}

// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
    return len(*h)
}

// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
    // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
    return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}

// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
    (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}

// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
    return (*h)[0]
}

/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
    /* 初始化堆 */
    // 初始化大顶堆
    maxHeap := &intHeap{}
    heap.Init(maxHeap)
    /* 元素入堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
    heap.Push(maxHeap, 1)
    heap.Push(maxHeap, 3)
    heap.Push(maxHeap, 2)
    heap.Push(maxHeap, 4)
    heap.Push(maxHeap, 5)

    /* 获取堆顶元素 */
    top := maxHeap.Top()
    fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)

    /* 堆顶元素出堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
    heap.Pop(maxHeap) // 5
    heap.Pop(maxHeap) // 4
    heap.Pop(maxHeap) // 3
    heap.Pop(maxHeap) // 2
    heap.Pop(maxHeap) // 1

    /* 获取堆大小 */
    size := len(*maxHeap)
    fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)

    /* 判断堆是否为空 */
    isEmpty := len(*maxHeap) == 0
    fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}

heap.swift

/* 初始化堆 */
// Swift 的 Heap 类型同时支持最大堆和最小堆，且需要引入 swift-collections
var heap = Heap<Int>()

/* 元素入堆 */
heap.insert(1)
heap.insert(3)
heap.insert(2)
heap.insert(5)
heap.insert(4)

/* 获取堆顶元素 */
var peek = heap.max()!

/* 堆顶元素出堆 */
peek = heap.removeMax() // 5
peek = heap.removeMax() // 4
peek = heap.removeMax() // 3
peek = heap.removeMax() // 2
peek = heap.removeMax() // 1

/* 获取堆大小 */
let size = heap.count

/* 判断堆是否为空 */
let isEmpty = heap.isEmpty

/* 输入列表并建堆 */
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])

heap.js

// JavaScript 未提供内置 Heap 类

heap.ts

// TypeScript 未提供内置 Heap 类

heap.dart

// Dart 未提供内置 Heap 类

heap.rs

use std::collections::BinaryHeap;
use std::cmp::Reverse;

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
// 初始化大顶堆
let mut max_heap = BinaryHeap::new();

/* 元素入堆 */
max_heap.push(1);
max_heap.push(3);
max_heap.push(2);
max_heap.push(5);
max_heap.push(4);

/* 获取堆顶元素 */
let peek = max_heap.peek().unwrap();  // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 5
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 4
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 3
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 2
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 1

/* 获取堆大小 */
let size = max_heap.len();

/* 判断堆是否为空 */
let is_empty = max_heap.is_empty();

/* 输入列表并建堆 */
let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);

heap.c

// C 未提供内置 Heap 类

heap.kt

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
var minHeap = PriorityQueue<Int>()
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1)
maxHeap.offer(3)
maxHeap.offer(2)
maxHeap.offer(5)
maxHeap.offer(4)

/* 获取堆顶元素 */
var peek = maxHeap.peek() // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll() // 5
peek = maxHeap.poll() // 4
peek = maxHeap.poll() // 3
peek = maxHeap.poll() // 2
peek = maxHeap.poll() // 1

/* 获取堆大小 */
val size = maxHeap.size

/* 判断堆是否为空 */
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))

heap.rb

# Ruby 未提供内置 Heap 类

heap.zig

8.1.2   堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转（例如，将 \(\geq\) 替换为 \(\leq\) ）。感兴趣的读者可以自行实现。

1.   堆的存储与表示

“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如图 8-2 所示，给定索引 \(i\) ，其左子节点的索引为 \(2i + 1\) ，右子节点的索引为 \(2i + 2\) ，父节点的索引为 \((i - 1) / 2\)（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

图 8-2   堆的表示与存储

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

my_heap.py

def left(self, i: int) -> int:
    """获取左子节点的索引"""
    return 2 * i + 1

def right(self, i: int) -> int:
    """获取右子节点的索引"""
    return 2 * i + 2

def parent(self, i: int) -> int:
    """获取父节点的索引"""
    return (i - 1) // 2  # 向下整除

my_heap.cpp

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

my_heap.java

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

my_heap.cs

/* 获取左子节点的索引 */
int Left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int Right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int Parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

my_heap.go

/* 获取左子节点的索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
    return 2*i + 1
}

/* 获取右子节点的索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
    return 2*i + 2
}

/* 获取父节点的索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
    // 向下整除
    return (i - 1) / 2
}

my_heap.swift

/* 获取左子节点的索引 */
func left(i: Int) -> Int {
    2 * i + 1
}

/* 获取右子节点的索引 */
func right(i: Int) -> Int {
    2 * i + 2
}

/* 获取父节点的索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}

my_heap.js

/* 获取左子节点的索引 */
#left(i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
#right(i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
#parent(i) {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}

my_heap.ts

/* 获取左子节点的索引 */
left(i: number): number {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
right(i: number): number {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
parent(i: number): number {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}

my_heap.dart

/* 获取左子节点的索引 */
int _left(int i) {
  return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int _right(int i) {
  return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int _parent(int i) {
  return (i - 1) ~/ 2; // 向下整除
}

my_heap.rs

/* 获取左子节点的索引 */
fn left(i: usize) -> usize {
    2 * i + 1
}

/* 获取右子节点的索引 */
fn right(i: usize) -> usize {
    2 * i + 2
}

/* 获取父节点的索引 */
fn parent(i: usize) -> usize {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}

my_heap.c

/* 获取左子节点的索引 */
int left(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下取整
}

my_heap.kt

/* 获取左子节点的索引 */
fun left(i: Int): Int {
    return 2 * i + 1
}

/* 获取右子节点的索引 */
fun right(i: Int): Int {
    return 2 * i + 2
}

/* 获取父节点的索引 */
fun parent(i: Int): Int {
    return (i - 1) / 2 // 向下整除
}

my_heap.rb

### 获取左子节点的索引 ###
def left(i)
  2 * i + 1
end

### 获取右子节点的索引 ###
def right(i)
  2 * i + 2
end

### 获取父节点的索引 ###
def parent(i)
  (i - 1) / 2     # 向下整除
end

my_heap.zig

// 获取左子节点的索引
fn left(i: usize) usize {
    return 2 * i + 1;
}

// 获取右子节点的索引
fn right(i: usize) usize {
    return 2 * i + 2;
}

// 获取父节点的索引
fn parent(i: usize) usize {
    // return (i - 1) / 2; // 向下整除
    return @divFloor(i - 1, 2);
}

2.   访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

my_heap.py

def peek(self) -> int:
    """访问堆顶元素"""
    return self.max_heap[0]

my_heap.cpp

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap[0];
}

my_heap.java

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

my_heap.cs

/* 访问堆顶元素 */
int Peek() {
    return maxHeap[0];
}

my_heap.go

/* 访问堆顶元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {
    return h.data[0]
}

my_heap.swift

/* 访问堆顶元素 */
func peek() -> Int {
    maxHeap[0]
}

my_heap.js

/* 访问堆顶元素 */
peek() {
    return this.#maxHeap[0];
}

my_heap.ts

/* 访问堆顶元素 */
peek(): number {
    return this.maxHeap[0];
}

my_heap.dart

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
  return _maxHeap[0];
}

my_heap.rs

/* 访问堆顶元素 */
fn peek(&self) -> Option<i32> {
    self.max_heap.first().copied()
}

my_heap.c

/* 访问堆顶元素 */
int peek(MaxHeap *maxHeap) {
    return maxHeap->data[0];
}

my_heap.kt

/* 访问堆顶元素 */
fun peek(): Int {
    return maxHeap[0]
}

my_heap.rb

### 访问堆顶元素 ###
def peek
  @max_heap[0]
end

my_heap.zig

// 访问堆顶元素
fn peek(self: *Self) T {
    return self.max_heap.?.items[0];
}  

3.   元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化（heapify）。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如图 8-3 所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

图 8-3   元素入堆步骤

设节点总数为 \(n\) ，则树的高度为 \(O(\log n)\) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 \(O(\log n)\) ，元素入堆操作的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。代码如下所示：

my_heap.py

def push(self, val: int):
    """元素入堆"""
    # 添加节点
    self.max_heap.append(val)
    # 从底至顶堆化
    self.sift_up(self.size() - 1)

def sift_up(self, i: int):
    """从节点 i 开始，从底至顶堆化"""
    while True:
        # 获取节点 i 的父节点
        p = self.parent(i)
        # 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:
            break
        # 交换两节点
        self.swap(i, p)
        # 循环向上堆化
        i = p

my_heap.cpp

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.push_back(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交换两节点
        swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.java

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.cs

/* 元素入堆 */
void Push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.Add(val);
    // 从底至顶堆化
    SiftUp(Size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void SiftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = Parent(i);
        // 若“越过根节点”或“节点无须修复”，则结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交换两节点
        Swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.go

/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
    // 添加节点
    h.data = append(h.data, val)
    // 从底至顶堆化
    h.siftUp(len(h.data) - 1)
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
    for true {
        // 获取节点 i 的父节点
        p := h.parent(i)
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
            break
        }
        // 交换两节点
        h.swap(i, p)
        // 循环向上堆化
        i = p
    }
}

my_heap.swift

/* 元素入堆 */
func push(val: Int) {
    // 添加节点
    maxHeap.append(val)
    // 从底至顶堆化
    siftUp(i: size() - 1)
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func siftUp(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 获取节点 i 的父节点
        let p = parent(i: i)
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
            break
        }
        // 交换两节点
        swap(i: i, j: p)
        // 循环向上堆化
        i = p
    }
}

my_heap.js

/* 元素入堆 */
push(val) {
    // 添加节点
    this.#maxHeap.push(val);
    // 从底至顶堆化
    this.#siftUp(this.size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
#siftUp(i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        const p = this.#parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
        // 交换两节点
        this.#swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.ts

/* 元素入堆 */
push(val: number): void {
    // 添加节点
    this.maxHeap.push(val);
    // 从底至顶堆化
    this.siftUp(this.size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
siftUp(i: number): void {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        const p = this.parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || this.maxHeap[i] <= this.maxHeap[p]) break;
        // 交换两节点
        this.swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.dart

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
  // 添加节点
  _maxHeap.add(val);
  // 从底至顶堆化
  siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
  while (true) {
    // 获取节点 i 的父节点
    int p = _parent(i);
    // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
    if (p < 0 || _maxHeap[i] <= _maxHeap[p]) {
      break;
    }
    // 交换两节点
    _swap(i, p);
    // 循环向上堆化
    i = p;
  }
}

my_heap.rs

/* 元素入堆 */
fn push(&mut self, val: i32) {
    // 添加节点
    self.max_heap.push(val);
    // 从底至顶堆化
    self.sift_up(self.size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
fn sift_up(&mut self, mut i: usize) {
    loop {
        // 节点 i 已经是堆顶节点了，结束堆化
        if i == 0 {
            break;
        }
        // 获取节点 i 的父节点
        let p = Self::parent(i);
        // 当“节点无须修复”时，结束堆化
        if self.max_heap[i] <= self.max_heap[p] {
            break;
        }
        // 交换两节点
        self.swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.c

/* 元素入堆 */
void push(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 默认情况下，不应该添加这么多节点
    if (maxHeap->size == MAX_SIZE) {
        printf("heap is full!");
        return;
    }
    // 添加节点
    maxHeap->data[maxHeap->size] = val;
    maxHeap->size++;

    // 从底至顶堆化
    siftUp(maxHeap, maxHeap->size - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(maxHeap, i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap->data[i] <= maxHeap->data[p]) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(maxHeap, i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

my_heap.kt

/* 元素入堆 */
fun push(_val: Int) {
    // 添加节点
    maxHeap.add(_val)
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1)
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
fun siftUp(it: Int) {
    // Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量
    var i = it
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        val p = parent(i)
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
        // 交换两节点
        swap(i, p)
        // 循环向上堆化
        i = p
    }
}

my_heap.rb

### 元素入堆 ###
def push(val)
  # 添加节点
  @max_heap << val
  # 从底至顶堆化
  sift_up(size - 1)
end

### 从节点 i 开始，从底至顶堆化 ###
def sift_up(i)
  loop do
    # 获取节点 i 的父节点
    p = parent(i)
    # 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
    break if p < 0 || @max_heap[i] <= @max_heap[p]
    # 交换两节点
    swap(i, p)
    # 循环向上堆化
    i = p
  end
end

my_heap.zig

// 元素入堆
fn push(self: *Self, val: T) !void {
    // 添加节点
    try self.max_heap.?.append(val);
    // 从底至顶堆化
    try self.siftUp(self.size() - 1);
}  

// 从节点 i 开始，从底至顶堆化
fn siftUp(self: *Self, i_: usize) !void {
    var i = i_;
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        var p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 or self.max_heap.?.items[i] <= self.max_heap.?.items[p]) break;
        // 交换两节点
        try self.swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

4.   堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如图 8-4 所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

图 8-4   堆顶元素出堆步骤

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 \(O(\log n)\) 。代码如下所示：

my_heap.py

def pop(self) -> int:
    """元素出堆"""
    # 判空处理
    if self.is_empty():
        raise IndexError("堆为空")
    # 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1)
    # 删除节点
    val = self.max_heap.pop()
    # 从顶至底堆化
    self.sift_down(0)
    # 返回堆顶元素
    return val

def sift_down(self, i: int):
    """从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
    while True:
        # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
        if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
            ma = l
        if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
            ma = r
        # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i:
            break
        # 交换两节点
        self.swap(i, ma)
        # 循环向下堆化
        i = ma

my_heap.cpp

/* 元素出堆 */
void pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty()) {
        throw out_of_range("堆为空");
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
    // 删除节点
    maxHeap.pop_back();
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

my_heap.java

/* 元素出堆 */
int pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

my_heap.cs

/* 元素出堆 */
int Pop() {
    // 判空处理
    if (IsEmpty())
        throw new IndexOutOfRangeException();
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    Swap(0, Size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.Last();
    maxHeap.RemoveAt(Size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    SiftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void SiftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = Left(i), r = Right(i), ma = i;
        if (l < Size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < Size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若“节点 i 最大”或“越过叶节点”，则结束堆化
        if (ma == i) break;
        // 交换两节点
        Swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

my_heap.go

/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) pop() any {
    // 判空处理
    if h.isEmpty() {
        fmt.Println("error")
        return nil
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    h.swap(0, h.size()-1)
    // 删除节点
    val := h.data[len(h.data)-1]
    h.data = h.data[:len(h.data)-1]
    // 从顶至底堆化
    h.siftDown(0)

    // 返回堆顶元素
    return val
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
    for true {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
        l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
        if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
            max = l
        }
        if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
            max = r
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if max == i {
            break
        }
        // 交换两节点
        h.swap(i, max)
        // 循环向下堆化
        i = max
    }
}

my_heap.swift

/* 元素出堆 */
func pop() -> Int {
    // 判空处理
    if isEmpty() {
        fatalError("堆为空")
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(i: 0, j: size() - 1)
    // 删除节点
    let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
    // 从顶至底堆化
    siftDown(i: 0)
    // 返回堆顶元素
    return val
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        let l = left(i: i)
        let r = right(i: i)
        var ma = i
        if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
            ma = l
        }
        if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
            ma = r
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交换两节点
        swap(i: i, j: ma)
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}

my_heap.js

/* 元素出堆 */
pop() {
    // 判空处理
    if (this.isEmpty()) throw new Error('堆为空');
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    this.#swap(0, this.size() - 1);
    // 删除节点
    const val = this.#maxHeap.pop();
    // 从顶至底堆化
    this.#siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
#siftDown(i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        const l = this.#left(i),
            r = this.#right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交换两节点
        this.#swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

my_heap.ts

/* 元素出堆 */
pop(): number {
    // 判空处理
    if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    this.swap(0, this.size() - 1);
    // 删除节点
    const val = this.maxHeap.pop();
    // 从顶至底堆化
    this.siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
siftDown(i: number): void {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        const l = this.left(i),
            r = this.right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交换两节点
        this.swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

my_heap.dart

/* 元素出堆 */
int pop() {
  // 判空处理
  if (isEmpty()) throw Exception('堆为空');
  // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
  _swap(0, size() - 1);
  // 删除节点
  int val = _maxHeap.removeLast();
  // 从顶至底堆化
  siftDown(0);
  // 返回堆顶元素
  return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
  while (true) {
    // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
    int l = _left(i);
    int r = _right(i);
    int ma = i;
    if (l < size() && _maxHeap[l] > _maxHeap[ma]) ma = l;
    if (r < size() && _maxHeap[r] > _maxHeap[ma]) ma = r;
    // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
    if (ma == i) break;
    // 交换两节点
    _swap(i, ma);
    // 循环向下堆化
    i = ma;
  }
}

my_heap.rs

/* 元素出堆 */
fn pop(&mut self) -> i32 {
    // 判空处理
    if self.is_empty() {
        panic!("index out of bounds");
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1);
    // 删除节点
    let val = self.max_heap.pop().unwrap();
    // 从顶至底堆化
    self.sift_down(0);
    // 返回堆顶元素
    val
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fn sift_down(&mut self, mut i: usize) {
    loop {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        let (l, r, mut ma) = (Self::left(i), Self::right(i), i);
        if l < self.size() && self.max_heap[l] > self.max_heap[ma] {
            ma = l;
        }
        if r < self.size() && self.max_heap[r] > self.max_heap[ma] {
            ma = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break;
        }
        // 交换两节点
        self.swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

my_heap.c

/* 元素出堆 */
int pop(MaxHeap *maxHeap) {
    // 判空处理
    if (isEmpty(maxHeap)) {
        printf("heap is empty!");
        return INT_MAX;
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
    maxHeap->size--;
    // 从顶至底堆化
    siftDown(maxHeap, 0);

    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
        int l = left(maxHeap, i);
        int r = right(maxHeap, i);
        int max = i;
        if (l < size(maxHeap) && maxHeap->data[l] > maxHeap->data[max]) {
            max = l;
        }
        if (r < size(maxHeap) && maxHeap->data[r] > maxHeap->data[max]) {
            max = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (max == i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(maxHeap, i, max);
        // 循环向下堆化
        i = max;
    }
}

my_heap.kt

/* 元素出堆 */
fun pop(): Int {
    // 判空处理
    if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1)
    // 删除节点
    val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0)
    // 返回堆顶元素
    return _val
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fun siftDown(it: Int) {
    // Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量
    var i = it
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        val l = left(i)
        val r = right(i)
        var ma = i
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i) break
        // 交换两节点
        swap(i, ma)
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}

my_heap.rb

### 元素出堆 ###
def pop
  # 判空处理
  raise IndexError, "堆为空" if is_empty?
  # 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
  swap(0, size - 1)
  # 删除节点
  val = @max_heap.pop
  # 从顶至底堆化
  sift_down(0)
  # 返回堆顶元素
  val
end

### 从节点 i 开始，从顶至底堆化 ###
def sift_down(i)
  loop do
    # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
    l, r, ma = left(i), right(i), i
    ma = l if l < size && @max_heap[l] > @max_heap[ma]
    ma = r if r < size && @max_heap[r] > @max_heap[ma]

    # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
    break if ma == i

    # 交换两节点
    swap(i, ma)
    # 循环向下堆化
    i = ma
  end
end

my_heap.zig

// 元素出堆
fn pop(self: *Self) !T {
    // 判断处理
    if (self.isEmpty()) unreachable;
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    try self.swap(0, self.size() - 1);
    // 删除节点
    var val = self.max_heap.?.pop();
    // 从顶至底堆化
    try self.siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
} 

// 从节点 i 开始，从顶至底堆化
fn siftDown(self: *Self, i_: usize) !void {
    var i = i_;
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        var l = left(i);
        var r = right(i);
        var ma = i;
        if (l < self.size() and self.max_heap.?.items[l] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = l;
        if (r < self.size() and self.max_heap.?.items[r] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i) break;
        // 交换两节点
        try self.swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

8.1.3   堆的常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 \(O(\log n)\) ，而建堆操作为 \(O(n)\) ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
• 获取最大的 \(k\) 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。