Question

2597. 美丽子集的数目

English Version

题目描述

给你一个由正整数组成的数组 nums 和一个 正 整数 k 。

如果 nums 的子集中，任意两个整数的绝对差均不等于 k ，则认为该子数组是一个 美丽 子集。

返回数组 nums 中 非空 且 美丽 的子集数目。

nums 的子集定义为：可以经由 nums 删除某些元素（也可能不删除）得到的一个数组。只有在删除元素时选择的索引不同的情况下，两个子集才会被视作是不同的子集。

 

示例 1：

输入：nums = [2,4,6], k = 2
输出：4
解释：数组 nums 中的美丽子集有：[2], [4], [6], [2, 6] 。
可以证明数组 [2,4,6] 中只存在 4 个美丽子集。

示例 2：

输入：nums = [1], k = 1
输出：1
解释：数组 nums 中的美丽数组有：[1] 。
可以证明数组 [1] 中只存在 1 个美丽子集。 

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 1 <= nums[i], k <= 1000

解法

方法一：计数 + 回溯

我们用哈希表或数组 $cnt$ 记录当前已经选择的数字以及它们的个数，用 $ans$ 记录美丽子集的数目，初始时 $ans = -1$，表示排除空集。

对于数组 $nums$ 中的每个数字 $x$，我们有两种选择：

• 不选择 $x$，此时直接递归到下一个数字；
• 选择 $x$，此时需要判断 $x + k$ 和 $x - k$ 是否已经在 $cnt$ 中出现过，如果都没有出现过，那么我们就可以选择 $x$，此时我们将 $x$ 的个数加一，然后递归到下一个数字，最后将 $x$ 的个数减一。

最后，我们返回 $ans$ 即可。

时间复杂度 $O(2^n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def beautifulSubsets(self, nums: List[int], k: int) -> int:
    def dfs(i: int) -> None:
      nonlocal ans
      if i >= len(nums):
        ans += 1
        return
      dfs(i + 1)
      if cnt[nums[i] + k] == 0 and cnt[nums[i] - k] == 0:
        cnt[nums[i]] += 1
        dfs(i + 1)
        cnt[nums[i]] -= 1

    ans = -1
    cnt = Counter()
    dfs(0)
    return ans

class Solution {
  private int[] nums;
  private int[] cnt = new int[1010];
  private int ans = -1;
  private int k;

  public int beautifulSubsets(int[] nums, int k) {
    this.k = k;
    this.nums = nums;
    dfs(0);
    return ans;
  }

  private void dfs(int i) {
    if (i >= nums.length) {
      ++ans;
      return;
    }
    dfs(i + 1);
    boolean ok1 = nums[i] + k >= cnt.length || cnt[nums[i] + k] == 0;
    boolean ok2 = nums[i] - k < 0 || cnt[nums[i] - k] == 0;
    if (ok1 && ok2) {
      ++cnt[nums[i]];
      dfs(i + 1);
      --cnt[nums[i]];
    }
  }
}

class Solution {
public:
  int beautifulSubsets(vector<int>& nums, int k) {
    int ans = -1;
    int cnt[1010]{};
    int n = nums.size();

    function<void(int)> dfs = [&](int i) {
      if (i >= n) {
        ++ans;
        return;
      }
      dfs(i + 1);
      bool ok1 = nums[i] + k >= 1010 || cnt[nums[i] + k] == 0;
      bool ok2 = nums[i] - k < 0 || cnt[nums[i] - k] == 0;
      if (ok1 && ok2) {
        ++cnt[nums[i]];
        dfs(i + 1);
        --cnt[nums[i]];
      }
    };
    dfs(0);
    return ans;
  }
};

func beautifulSubsets(nums []int, k int) int {
  ans := -1
  n := len(nums)
  cnt := [1010]int{}
  var dfs func(int)
  dfs = func(i int) {
    if i >= n {
      ans++
      return
    }
    dfs(i + 1)
    ok1 := nums[i]+k >= len(cnt) || cnt[nums[i]+k] == 0
    ok2 := nums[i]-k < 0 || cnt[nums[i]-k] == 0
    if ok1 && ok2 {
      cnt[nums[i]]++
      dfs(i + 1)
      cnt[nums[i]]--
    }
  }
  dfs(0)
  return ans
}

function beautifulSubsets(nums: number[], k: number): number {
  let ans: number = -1;
  const cnt: number[] = new Array(1010).fill(0);
  const n: number = nums.length;
  const dfs = (i: number) => {
    if (i >= n) {
      ++ans;
      return;
    }
    dfs(i + 1);
    const ok1: boolean = nums[i] + k >= 1010 || cnt[nums[i] + k] === 0;
    const ok2: boolean = nums[i] - k < 0 || cnt[nums[i] - k] === 0;
    if (ok1 && ok2) {
      ++cnt[nums[i]];
      dfs(i + 1);
      --cnt[nums[i]];
    }
  };
  dfs(0);
  return ans;
}