Question

1680. 连接连续二进制数字

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，请你将 1 到 n 的二进制表示连接起来，并返回连接结果对应的 十进制 数字对 109 + 7 取余的结果。

 

示例 1：

输入：n = 1
输出：1
解释：二进制的 "1" 对应着十进制的 1 。

示例 2：

输入：n = 3
输出：27
解释：二进制下，1，2 和 3 分别对应 "1" ，"10" 和 "11" 。
将它们依次连接，我们得到 "11011" ，对应着十进制的 27 。

示例 3：

输入：n = 12
输出：505379714
解释：连接结果为 "1101110010111011110001001101010111100" 。
对应的十进制数字为 118505380540 。
对 109 + 7 取余后，结果为 505379714 。

 

提示：

• 1 <= n <= 105

解法

方法一：位运算

观察数字的连接规律，我们可以发现，当连接到第 $i$ 个数时，实际上是将前 $i-1$ 个数连接而成的结果 $ans$ 往左移动一定的位数，然后再加上 $i$ 这个数，移动的位数 $shift$ 是 $i$ 中二进制的位数。由于 $i$ 在不断加 $1$，移动的位数要么与上一次移动的位数保持不变，要么加一。当 $i$ 为 $2$ 的幂次方的时候，也即是说 $i$ 的二进制数中只有一位是 $1$ 时，移动的位数相比于上次加 $1$。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为给定的整数。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def concatenatedBinary(self, n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
      ans = (ans << i.bit_length() | i) % mod
    return ans

class Solution {
  public int concatenatedBinary(int n) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      ans = (ans << (32 - Integer.numberOfLeadingZeros(i)) | i) % mod;
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int concatenatedBinary(int n) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      ans = (ans << (32 - __builtin_clz(i)) | i) % mod;
    }
    return ans;
  }
};

func concatenatedBinary(n int) (ans int) {
  const mod = 1e9 + 7
  for i := 1; i <= n; i++ {
    ans = (ans<<bits.Len(uint(i)) | i) % mod
  }
  return
}

function concatenatedBinary(n: number): number {
  const mod = BigInt(10 ** 9 + 7);
  let ans = 0n;
  let shift = 0n;
  for (let i = 1n; i <= n; ++i) {
    if ((i & (i - 1n)) == 0n) {
      ++shift;
    }
    ans = ((ans << shift) | i) % mod;
  }
  return Number(ans);
}

方法二

class Solution:
  def concatenatedBinary(self, n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    ans = shift = 0
    for i in range(1, n + 1):
      if (i & (i - 1)) == 0:
        shift += 1
      ans = (ans << shift | i) % mod
    return ans

class Solution {
  public int concatenatedBinary(int n) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    long ans = 0;
    int shift = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      if ((i & (i - 1)) == 0) {
        ++shift;
      }
      ans = (ans << shift | i) % mod;
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int concatenatedBinary(int n) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    long ans = 0;
    int shift = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      if ((i & (i - 1)) == 0) {
        ++shift;
      }
      ans = (ans << shift | i) % mod;
    }
    return ans;
  }
};

func concatenatedBinary(n int) (ans int) {
  const mod = 1e9 + 7
  shift := 0
  for i := 1; i <= n; i++ {
    if i&(i-1) == 0 {
      shift++
    }
    ans = (ans<<shift | i) % mod
  }
  return
}