Question

1175. 质数排列

English Version

题目描述

请你帮忙给从 1 到 n 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 1 开始）上；你需要返回可能的方案总数。

让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 1 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。

由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 10^9 + 7 之后的结果即可。

 

示例 1：

输入：n = 5
输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。

示例 2：

输入：n = 100
输出：682289015

 

提示：

• 1 <= n <= 100

解法

方法一：数学

先统计 $[1,n]$ 范围内的质数个数，我们记为 $cnt$。然后求 $cnt$ 以及 $n-cnt$ 阶乘的乘积得到答案，注意取模操作。

这里我们用“埃氏筛”统计质数。

如果 $x$ 是质数，那么大于 $x$ 的 $x$ 的倍数 $2x$,$3x$,… 一定不是质数，因此我们可以从这里入手。

设 $primes[i]$ 表示数 $i$ 是不是质数，如果是质数则为 $true$，否则为 $false$。

我们在 $[2,n]$ 范围内顺序遍历每个数 $i$，如果这个数为质数，质数个数增 $1$，然后将其所有的倍数 $j$ 都标记为合数（除了该质数本身），即 $primes[j]=false$，这样在运行结束的时候我们即能知道质数的个数。

时间复杂度 $O(n \times \log \log n)$。

class Solution:
  def numPrimeArrangements(self, n: int) -> int:
    def count(n):
      cnt = 0
      primes = [True] * (n + 1)
      for i in range(2, n + 1):
        if primes[i]:
          cnt += 1
          for j in range(i + i, n + 1, i):
            primes[j] = False
      return cnt

    cnt = count(n)
    ans = factorial(cnt) * factorial(n - cnt)
    return ans % (10**9 + 7)

class Solution {
  private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

  public int numPrimeArrangements(int n) {
    int cnt = count(n);
    long ans = f(cnt) * f(n - cnt);
    return (int) (ans % MOD);
  }

  private long f(int n) {
    long ans = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      ans = (ans * i) % MOD;
    }
    return ans;
  }

  private int count(int n) {
    int cnt = 0;
    boolean[] primes = new boolean[n + 1];
    Arrays.fill(primes, true);
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      if (primes[i]) {
        ++cnt;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
          primes[j] = false;
        }
      }
    }
    return cnt;
  }
}

using ll = long long;
const int MOD = 1e9 + 7;

class Solution {
public:
  int numPrimeArrangements(int n) {
    int cnt = count(n);
    ll ans = f(cnt) * f(n - cnt);
    return (int) (ans % MOD);
  }

  ll f(int n) {
    ll ans = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) ans = (ans * i) % MOD;
    return ans;
  }

  int count(int n) {
    vector<bool> primes(n + 1, true);
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      if (primes[i]) {
        ++cnt;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) primes[j] = false;
      }
    }
    return cnt;
  }
};

func numPrimeArrangements(n int) int {
  count := func(n int) int {
    cnt := 0
    primes := make([]bool, n+1)
    for i := range primes {
      primes[i] = true
    }
    for i := 2; i <= n; i++ {
      if primes[i] {
        cnt++
        for j := i + i; j <= n; j += i {
          primes[j] = false
        }
      }
    }
    return cnt
  }

  mod := int(1e9) + 7
  f := func(n int) int {
    ans := 1
    for i := 2; i <= n; i++ {
      ans = (ans * i) % mod
    }
    return ans
  }

  cnt := count(n)
  ans := f(cnt) * f(n-cnt)
  return ans % mod
}