Question

801. 使序列递增的最小交换次数

English Version

题目描述

我们有两个长度相等且不为空的整型数组 nums1 和 nums2 。在一次操作中，我们可以交换 nums1[i] 和 nums2[i]的元素。

• 例如，如果 nums1 = [1,2,3,8] ， nums2 =[5,6,7,4] ，你可以交换 i = 3 处的元素，得到 nums1 =[1,2,3,4] 和 nums2 =[5,6,7,8] 。

返回 _使 nums1 和 nums2 严格递增 所需操作的最小次数_ 。

数组 arr 严格递增 且  arr[0] < arr[1] < arr[2] < ... < arr[arr.length - 1] 。

注意：

• 用例保证可以实现操作。

 

示例 1:

输入: nums1 = [1,3,5,4], nums2 = [1,2,3,7]
输出: 1
解释: 
交换 A[3] 和 B[3] 后，两个数组如下:
A = [1, 3, 5, 7] ， B = [1, 2, 3, 4]
两个数组均为严格递增的。

示例 2:

输入: nums1 = [0,3,5,8,9], nums2 = [2,1,4,6,9]
输出: 1

 

提示:

• 2 <= nums1.length <= 105
• nums2.length == nums1.length
• 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 2 * 105

解法

方法一：动态规划

定义 $a$, $b$ 分别表示使得下标 $[0..i]$ 的元素序列严格递增，且第 $i$ 个元素不交换、交换的最小交换次数。下标从 $0$ 开始。

当 $i=0$ 时，有 $a = 0$, $b=1$。

当 $i\gt 0$ 时，我们先将此前 $a$, $b$ 的值保存在 $x$, $y$ 中，然后分情况讨论：

如果 $nums1[i - 1] \ge nums1[i]$ 或者 $nums2[i - 1] \ge nums2[i]$，为了使得两个序列均严格递增，下标 $i-1$ 和 $i$ 对应的元素的相对位置必须发生变化。也就是说，如果前一个位置交换了，那么当前位置不交换，因此有 $a = y$；如果前一个位置没有交换，那么当前位置必须交换，因此有 $b = x + 1$。

否则，下标 $i-1$ 和 $i$ 对应的元素的相对位置可以不发生变化，那么有 $b = y + 1$。另外，如果满足 $nums1[i - 1] \lt nums2[i]$ 并且 $nums2[i - 1] \lt nums1[i]$，那么下标 $i-1$ 和 $i$ 对应的元素的相对位置可以发生变化，此时 $a$ 和 $b$ 可以取较小值，因此有 $a = \min(a, y)$ 和 $b = \min(b, x + 1)$。

最后，返回 $a$ 和 $b$ 中较小值即可。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def minSwap(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    a, b = 0, 1
    for i in range(1, len(nums1)):
      x, y = a, b
      if nums1[i - 1] >= nums1[i] or nums2[i - 1] >= nums2[i]:
        a, b = y, x + 1
      else:
        b = y + 1
        if nums1[i - 1] < nums2[i] and nums2[i - 1] < nums1[i]:
          a, b = min(a, y), min(b, x + 1)
    return min(a, b)

class Solution {
  public int minSwap(int[] nums1, int[] nums2) {
    int a = 0, b = 1;
    for (int i = 1; i < nums1.length; ++i) {
      int x = a, y = b;
      if (nums1[i - 1] >= nums1[i] || nums2[i - 1] >= nums2[i]) {
        a = y;
        b = x + 1;
      } else {
        b = y + 1;
        if (nums1[i - 1] < nums2[i] && nums2[i - 1] < nums1[i]) {
          a = Math.min(a, y);
          b = Math.min(b, x + 1);
        }
      }
    }
    return Math.min(a, b);
  }
}

class Solution {
public:
  int minSwap(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int a = 0, b = 1, n = nums1.size();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      int x = a, y = b;
      if (nums1[i - 1] >= nums1[i] || nums2[i - 1] >= nums2[i]) {
        a = y, b = x + 1;
      } else {
        b = y + 1;
        if (nums1[i - 1] < nums2[i] && nums2[i - 1] < nums1[i]) {
          a = min(a, y);
          b = min(b, x + 1);
        }
      }
    }
    return min(a, b);
  }
};

func minSwap(nums1 []int, nums2 []int) int {
  a, b, n := 0, 1, len(nums1)
  for i := 1; i < n; i++ {
    x, y := a, b
    if nums1[i-1] >= nums1[i] || nums2[i-1] >= nums2[i] {
      a, b = y, x+1
    } else {
      b = y + 1
      if nums1[i-1] < nums2[i] && nums2[i-1] < nums1[i] {
        a = min(a, y)
        b = min(b, x+1)
      }
    }
  }
  return min(a, b)
}