Question

以搜索广告为代表的竞价广告实际上是像拍卖那样销售广告展示机会。也就是说，系统根据广告主的出价以及由此计算出的 eCPM决定谁可以得到某次展示的广告位。在竞价广告初始阶段，出价是广告主阶段性调整的；而到了广告实时交易阶段，广告主可以对每次展示实时调整出价^[5]。但是从拍卖市场的宏观角度看，这两种竞价没有本质差别。

让我们先来看看怎样描述竞价广告问题，并从宏观市场的角度了解一些重要结论。如图5-7 所示，假设有一组广告位可以被占用，将这些广告位按照其经验价值排名，分别记为s=1，2，···，S（对横幅广告而言，这里的S 一般为1）。在某次广告请求中，有一组广告a=1，2，···，A出价参与拍卖，每个广告的出价记为b_a，系统将前S 个高出价的广告依次放到前面排序好的 S 个广告位上，这样的问题称为位置拍卖（position auction）。根据前文的讨论，当某个广告a被放在s位置上时，其期望收益即eCPM为r_as=µ_sν_a。这里我们作了一些假设，比如，点击率 µ仅与位置 s有关，而点击价值 ν 仅与广告 a有关，这些假设在搜索广告给定某具体关键词的情形下可以说基本合理，对于展示广告的情形虽然非常近似，但并不太影响对竞价问题宏观市场的讨论。

图5-7 位置拍卖问题示例

如何设计这样的位置拍卖问题中的一些重要机制往往对整个竞价市场的收益、稳定性、公平性等有着巨大的影响，这一类问题称为机制设计问题。在广告中常见的机制设计问题包括定价、市场保留价、价格挤压等。

5.2.1 定价问题

围绕位置拍卖最重要的机制设计是所谓的定价（Pricing）问题，它探讨的是在一次位置拍卖中给定各参与者的出价以及他们的期望收益，如何对最后获得某个位置的广告主收取合适的费用。

讨论定价问题乍听起来有些多余，有人会说按照广告主自己的出价收取不就可以了吗？为了解释研究此问题的动机，我们先来看看下面的例子：假设有某个单位置（S=1）的广告机会在竞拍，开始有两个广告主参与，甲出价1元，乙出价2元，当然乙赢得了此次竞价，如果按照其出价来收费，市场就向他收取2元的费用。在广告市场里，这一拍卖机会还会重复出现（对应于不断产生的展示），因此广告主可以也存在调整出价的机会，假设乙在发现自己 2元钱能拿到流量以后，自然就会想到，是不是可以调低出价，用更低的成本拿到流量？乙将一直不断尝试，直到把出价调低到1.01元，发现继续调低就拿不到位置了。于是系统稳定在甲出价 1 元，乙出价 1.01 元。此时假设又有一个广告主丙加入竞争，并希望赢下此广告位，那么以此类推，他在不断调整后将会出价 1.02元，市场的收入也就是 1.02元。我们有可能通过调整定价策略来影响系统的总收益吗？答案是肯定的。比如我们在甲出1元，乙出 2 元参与竞价时，并不对获胜的乙收 2 元，而是收取其下一名即甲的出价 1 元，那么甲就没有动力调低其出价了。那么当丙加入时，就需要出价2元以上才可以赢得竞价，市场的收入也就变成了 2元（不论丙出价多少，我们都按其下一位即乙的出价来收费）。这个简单的例子告诉我们，在广告这样的参与者可以针对同一个标的物不断调整出价的拍卖环境中，通过聪明的定价策略完全可能为整个市场创造更高的收益和更好的市场稳定性。

在定价问题上，我们在微观上的直觉未必可以推广到宏观市场。从整个市场的角度来看，我们重点需要研究的是市场处于稳定状态下的收益和其他特性。而所谓稳定，指的是整个竞价系统处于纳什均衡（Nash equilibrium）状态，也即每个广告主都通过出价得到了最符合自己利益的位置。对某一次位置竞价来说，其对称纳什均衡（symmetric Nash equilibrium）状态可以表示为下式：

注意这里的下标意义有所调整，这里的 ν_s 指的是排在 s位置上的广告的点击价值，并非 s位置带来的点击价值，而 q_s 指的是市场向排在 s位置上的广告收取的费用，即定价，也就是广告主的单次投入。这一均衡状态的意义很容易理解：对于最终位置排名竞价结果中的每一条广告，其收益都比排在其他位置上要高。显然，在这样的状态下，每个广告主都达到了自己最优的状态，整个系统也就随之稳定下来。

在公式5.1中，市场方能够调整的策略只有q_s的确定方式，也就是定价策略。随着定价策略的不同，市场达到稳定状态时的宏观收益情况和稳定的程度都有所不同。因此，有关竞价市场宏观性质的研究主要目的是寻找更好的定价策略以优化整体收益。由于位置竞价问题纳什均衡状态的数学分析与本书的产品和技术重点有一定差距，因此不再介绍这方面的内容，有兴趣的读者可以阅读参考文献[72]。

在线广告竞价市场最常见的定价策略是 GSP方案；另外有一种 VCG（Vickrey-Clarke-Groves）定价策略，虽然理论上比GSP更合理，但是由于原理较复杂，向广告主解释起来有难度，因此在实际系统中采用的并不多。下面我们分别介绍这两种定价策略。

1.广义第二高价（GSP）

先来看看什么叫第二高价（second price）^[74]。所谓第二高价，指的是在只有一个位置的拍卖中，向赢得该位置的广告主收取其下一位广告主的出价，这样的拍卖也叫作Vickrey拍卖。在搜索广告这种有多个位置的拍卖过程中，很容易直觉地将第二高价策略推广成下面的策略：对赢得每一个位置的广告主，都按照他下一位的广告位置出价来收取费用，这就是广义第二高价^[30]。

第二高价和广义第二高价的直觉合理性在上面已经有所解释。但是实际上，第二高价是单位置拍卖时的最优定价策略，然而广义第二高价却不是多位置拍卖时的最优定价策略（最优策略是下面要介绍的VCG定价）。虽然并非理论上最优，广义第二高价却有着实现简单、容易向广告主解释等诸多操作中的优点，因此在实际的竞价广告系统中是最主流的定价策略。

如果是按照 CPM结算，那么广义第二高价可以非常直接地应用。然而在 CPC结算的竞价广告系统中，广告主的出价是针对点击的，而竞价是针对eCPM的，因此要对两者换算一下以实现CPC情形下的广义第二高价^[30]，其定价公式如下：

如果将等式两边同时乘以µ_s ，可以看出广义第二高价实际上仍然是eCPM上的第二高价。

读者可以自行验证，不论是 CPM还是 CPC结算，在广义第二高价的情形下，对某广告主的定价是一定不会大于其出价的。实际上，这种定价策略也同样适用于 CPS结算的竞价市场，并且只需要将公式5.2中的µ换成µν 即可。公式5.2最后的∆，一般为广告系统结算货币的最小单位，如1美分，这是一种历史惯例，也在某种程度上让广告主心理上感觉更加公平。

2.VCG

VCG定价^{[74，24，37]} 是 Vickrey、Clarke和 Groves在研究竞价系统均衡状态时得到的一种理论上较为优越的定价策略。其基本思想是：对于赢得了某个位置的广告主，其所付出的成本应该等于他占据这个位置给其他市场参与者带来的价值损害。在这一原则下，VCG的定价策略可以表示为公式5.3。

这种定价策略直觉上的合理性很容易理解。理论分析表明，VCG定价策略的优越性体现在如下几个方面：首先，在这种定价策略的稳定状态下，整个市场是 truth-telling的。所谓 truth-telling，可以理解为每个广告主都找到了自己的最优状态。其次，相对于其他的定价策略，这种定价向广告主收取的费用是最少的。在单广告位拍卖的情形下，VCG 定价策略就退化为第二高价策略。

虽然有以上诸多的优点，VCG定价在竞价广告中却并不是一种主流的方式。这主要是由于这种定价方式的逻辑过于复杂，比较难以向广告主解释清楚；另外在广告主和媒体存在博弈关系的情形下，媒体是否正确地计算了“给其他市场参与者带来的价值损害”也很难验证。不过这种定价方法也有其市场空间，有些广告厂商，如Facebook，在实际的竞价广告系统中就采用了这一定价机制。

5.2.2 市场保留价

为了控制广告的质量和保持一定的出售单价，竞价广告市场往往要设置一个赢得拍卖位置的最低价格，这一价格我们称为市场保留价（Market Reserve Price，MRP），俗称“起价”或“底价”。广告主的出价只有在高于市场保留价时才能获得竞价机会，同时在赢得某个拍卖位置后，如果根据定价策略算出的付费低于市场保留价（以广义第二高价为例，很容易验证这种情况是可能发生的），也需要调整到市场保留价的水平上。

确定MRP是竞价广告重要的产品策略，MRP定得过低或过高都不利于整个市场的收益最大化。一般来说，当竞争较充分、广告主深度足够时，MRP可以设置得比较高；反之则应适当降低。市场保留价的设置有两种方法，一是对整个竞价市场采用同样的保留价格，二是根据不同标的物（如搜索广告里的关键词）的特性设置不同的保留价格。如果按照后一种方法设置，显然应该对那些竞争程度较激烈的关键词设置比较高的MRP。

在搜索广告的实践中还有一点：北区和东区的广告虽然共享一个竞价队列，但为了保证北区黄金位置得到较好的变现，我们往往会对北区单独设一个较高的MRP。

关于如何计算最优的市场保留价也有一些理论研究和实践方法。简单来说，一个特定关键词的最优起价仅与竞价和质量度的分布有关，通过拟合其被保留价截断的分布为核心，可以通过理论上的计算公式来解出最优起价。自付费搜索的商业模式成型以来，搜索引擎便在不断尝试调整关键词竞拍的起价，在市场可以接受的前提下提升自身的收益水平。在 2001年，Yahoo! 将其起价统一设置为5美分，2008年，Yahoo! 结合理论的推导结果，对部分雅虎搜索关键词进行动态调价，不同价值的关键词被调整为不同的起价。此次调价后，根据持续观测，起价提升在2008年第三季度对收入的影响为+13%。而Google并没有公开自己的起价计算方法与过程，但是一般认为其起价的制定策略是业界较为先进的，早在Yahoo! 实行动态起价之前，研究人员即发现Google的起价也是动态的。

无论是调整市场整体的MRP，还是在不同流量划分上动态设置MRP，其基本原理都是根据竞价广告主的eCPM分布，找到一个使得填充率没有明显下降的CPM底价，然后再根据质量度倒算其CPC底价。实际上，由于考虑质量度，动态底价可以同时与（a，u，c）这三个参数都有关系，做到完全的动态。有关动态市场保留价的原理和具体算法可以进一步参考参考文献[64]。

5.2.3 价格挤压

在 CPC 结算的广告产品中，eCPM 可以表示成点击率和出价的乘积，即 r=µ·ν=µ·bid_CPC。但是在竞价的机制设计中，有时会对此公式做一些微调，把它变成下面的形式：

其中的κ为一个大于0的实数。可以考虑两种极端情况来理解κ的作用：当κ→∞时，相当于只根据点击率来排序而不考虑出价的作用；反之，当κ→0时，则相当于只根据出价来排序。因此，随着κ的增大，相当于我们在挤压出价在整个竞价体系中的作用，因此我们把这个因子叫做价格挤压（squashing）因子。

价格挤压因子的作用主要是能够根据市场情况更主动地影响竞价体系向着需要的方向发展。比如说，如果发现市场上存在大量的出价较高但品质不高的广告主，则可以通过调高κ来强调质量和用户反馈的影响；如果发现市场的竞价激烈程度不够，则可以通过降低κ来鼓励竞争，如果存在短期的财务压力，这样就可以短期使得整体营收有所上升；如果为了鼓励广告主提高广告质量和相关性，则可以通过提高κ来降低出价的影响。

5.2.4 定价结果示例

我们用一个具体的例子来直观地说明上述的综合竞价和定价过程：假设有一组广告竞争一个有多个位置的搜索广告展示机会，其出价和系统对其对其点击率^[6] 的预估如表5-2中的第 2列和第 3列所示，那么计算出的 eCPM以及在按照 GSP定价策略并取不同 κ值时向每个广告主收取的费用如表5-2的后面几列所示^[7]。从表5-2的例子中可以看出，经过GSP的CPC定价并不是降序的，并且存在低于MRP（如第3位的广告）的情形，这时需要将其强制设为MRP；另外，κ会对排序和计价都有明显的影响。

表5-2 GSP 广告竞价过程示例（单位：元 MRP=0.25）

希望进一步了解具体实现过程的读者，可以参考13.1节中的示例代码。至于按VCG定价策略向每个广告主收取的费用，读者可以自行探讨。