Question

2111. 使数组 K 递增的最少操作次数

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始包含 n 个正整数的数组 arr ，和一个正整数 k 。

如果对于每个满足 k <= i <= n-1 的下标 i ，都有 arr[i-k] <= arr[i] ，那么我们称 arr 是 K 递增 的。

• 比方说，arr = [4, 1, 5, 2, 6, 2] 对于 k = 2 是 K 递增的，因为：
  • arr[0] <= arr[2] (4 <= 5)
  • arr[1] <= arr[3] (1 <= 2)
  • arr[2] <= arr[4] (5 <= 6)
  • arr[3] <= arr[5] (2 <= 2)
• 但是，相同的数组 arr 对于 k = 1 不是 K 递增的（因为 arr[0] > arr[1]），对于 k = 3 也不是 K 递增的（因为 arr[0] > arr[3] ）。

每一次 操作 中，你可以选择一个下标 i 并将 arr[i] 改成任意 正整数。

请你返回对于给定的 k ，使数组变成 K 递增的 最少操作次数 。

 

示例 1：

输入：arr = [5,4,3,2,1], k = 1
输出：4
解释：
对于 k = 1 ，数组最终必须变成非递减的。
可行的 K 递增结果数组为 [5,_6_,_7_,_8_,_9_]，[_1_,_1_,_1_,_1_,1]，[_2_,_2_,3,_4_,_4_] 。它们都需要 4 次操作。
次优解是将数组变成比方说 [_6_,_7_,_8_,_9_,_10_] ，因为需要 5 次操作。
显然我们无法使用少于 4 次操作将数组变成 K 递增的。

示例 2：

输入：arr = [4,1,5,2,6,2], k = 2
输出：0
解释：
这是题目描述中的例子。
对于每个满足 2 <= i <= 5 的下标 i ，有 arr[i-2] <= arr[i] 。
由于给定数组已经是 K 递增的，我们不需要进行任何操作。

示例 3：

输入：arr = [4,1,5,2,6,2], k = 3
输出：2
解释：
下标 3 和 5 是仅有的 3 <= i <= 5 且不满足 arr[i-3] <= arr[i] 的下标。
将数组变成 K 递增的方法之一是将 arr[3] 变为 4 ，且将 arr[5] 变成 5 。
数组变为 [4,1,5,_4_,6,_5_] 。
可能有其他方法将数组变为 K 递增的，但没有任何一种方法需要的操作次数小于 2 次。

 

提示：

• 1 <= arr.length <= 105
• 1 <= arr[i], k <= arr.length

解法

方法一

class Solution:
  def kIncreasing(self, arr: List[int], k: int) -> int:
    def lis(arr):
      t = []
      for x in arr:
        idx = bisect_right(t, x)
        if idx == len(t):
          t.append(x)
        else:
          t[idx] = x
      return len(arr) - len(t)

    return sum(lis(arr[i::k]) for i in range(k))

class Solution {
  public int kIncreasing(int[] arr, int k) {
    int n = arr.length;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
      List<Integer> t = new ArrayList<>();
      for (int j = i; j < n; j += k) {
        t.add(arr[j]);
      }
      ans += lis(t);
    }
    return ans;
  }

  private int lis(List<Integer> arr) {
    List<Integer> t = new ArrayList<>();
    for (int x : arr) {
      int idx = searchRight(t, x);
      if (idx == t.size()) {
        t.add(x);
      } else {
        t.set(idx, x);
      }
    }
    return arr.size() - t.size();
  }

  private int searchRight(List<Integer> arr, int x) {
    int left = 0, right = arr.size();
    while (left < right) {
      int mid = (left + right) >> 1;
      if (arr.get(mid) > x) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return left;
  }
}

class Solution {
public:
  int kIncreasing(vector<int>& arr, int k) {
    int ans = 0, n = arr.size();
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
      vector<int> t;
      for (int j = i; j < n; j += k) t.push_back(arr[j]);
      ans += lis(t);
    }
    return ans;
  }

  int lis(vector<int>& arr) {
    vector<int> t;
    for (int x : arr) {
      auto it = upper_bound(t.begin(), t.end(), x);
      if (it == t.end())
        t.push_back(x);
      else
        *it = x;
    }
    return arr.size() - t.size();
  }
};

func kIncreasing(arr []int, k int) int {
  searchRight := func(arr []int, x int) int {
    left, right := 0, len(arr)
    for left < right {
      mid := (left + right) >> 1
      if arr[mid] > x {
        right = mid
      } else {
        left = mid + 1
      }
    }
    return left
  }

  lis := func(arr []int) int {
    var t []int
    for _, x := range arr {
      idx := searchRight(t, x)
      if idx == len(t) {
        t = append(t, x)
      } else {
        t[idx] = x
      }
    }
    return len(arr) - len(t)
  }

  n := len(arr)
  ans := 0
  for i := 0; i < k; i++ {
    var t []int
    for j := i; j < n; j += k {
      t = append(t, arr[j])
    }
    ans += lis(t)
  }
  return ans
}