Question

823. 带因子的二叉树

English Version

题目描述

给出一个含有不重复整数元素的数组 arr ，每个整数 arr[i] 均大于 1。

用这些整数来构建二叉树，每个整数可以使用任意次数。其中：每个非叶结点的值应等于它的两个子结点的值的乘积。

满足条件的二叉树一共有多少个？答案可能很大，返回 对 109 + 7 取余 的结果。

 

示例 1:

输入: arr = [2, 4]
输出: 3
解释: 可以得到这些二叉树: [2], [4], [4, 2, 2]

示例 2:

输入: arr = [2, 4, 5, 10]
输出: 7
解释: 可以得到这些二叉树: [2], [4], [5], [10], [4, 2, 2], [10, 2, 5], [10, 5, 2].

 

提示：

• 1 <= arr.length <= 1000
• 2 <= arr[i] <= 109
• arr 中的所有值 互不相同

解法

方法一：动态规划

我们可以枚举 $arr$ 中的每一个数 $a$ 作为二叉树的根节点（根节点一定最大），然后枚举枚举左子树的值 $b$，若 $a$ 能被 $b$ 整除，则右子树的值为 $a / b$，若 $a / b$ 也在 $arr$ 中，则可以构成一棵二叉树。此时，以 $a$ 为根节点的二叉树的个数为 $f(a) = f(b) \times f(a / b)$，其中 $f(b)$ 和 $f(a / b)$ 分别为左子树和右子树的二叉树个数。

因此，我们先将 $arr$ 排序，然后用 $f[i]$ 表示以 $arr[i]$ 为根节点的二叉树的个数，最终答案即为 $f[0] + f[1] + \cdots + f[n - 1]$。注意答案可能很大，需要对 $10^9 + 7$ 取模。

时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。其中 $n$ 为 $arr$ 的长度。

class Solution:
  def numFactoredBinaryTrees(self, arr: List[int]) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    n = len(arr)
    arr.sort()
    idx = {v: i for i, v in enumerate(arr)}
    f = [1] * n
    for i, a in enumerate(arr):
      for j in range(i):
        b = arr[j]
        if a % b == 0 and (c := (a // b)) in idx:
          f[i] = (f[i] + f[j] * f[idx[c]]) % mod
    return sum(f) % mod

class Solution {
  public int numFactoredBinaryTrees(int[] arr) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    Arrays.sort(arr);
    int n = arr.length;
    long[] f = new long[n];
    Arrays.fill(f, 1);
    Map<Integer, Integer> idx = new HashMap<>(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      idx.put(arr[i], i);
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int a = arr[i];
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        int b = arr[j];
        if (a % b == 0) {
          int c = a / b;
          if (idx.containsKey(c)) {
            int k = idx.get(c);
            f[i] = (f[i] + f[j] * f[k]) % mod;
          }
        }
      }
    }
    long ans = 0;
    for (long v : f) {
      ans = (ans + v) % mod;
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int numFactoredBinaryTrees(vector<int>& arr) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    sort(arr.begin(), arr.end());
    unordered_map<int, int> idx;
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      idx[arr[i]] = i;
    }
    vector<long> f(n, 1);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int a = arr[i];
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        int b = arr[j];
        if (a % b == 0) {
          int c = a / b;
          if (idx.count(c)) {
            int k = idx[c];
            f[i] = (f[i] + 1l * f[j] * f[k]) % mod;
          }
        }
      }
    }
    long ans = 0;
    for (long v : f) {
      ans = (ans + v) % mod;
    }
    return ans;
  }
};

func numFactoredBinaryTrees(arr []int) int {
  const mod int = 1e9 + 7
  sort.Ints(arr)
  f := make([]int, len(arr))
  idx := map[int]int{}
  for i, v := range arr {
    f[i] = 1
    idx[v] = i
  }
  for i, a := range arr {
    for j := 0; j < i; j++ {
      b := arr[j]
      if c := a / b; a%b == 0 {
        if k, ok := idx[c]; ok {
          f[i] = (f[i] + f[j]*f[k]) % mod
        }
      }
    }
  }
  ans := 0
  for _, v := range f {
    ans = (ans + v) % mod
  }
  return ans
}

function numFactoredBinaryTrees(arr: number[]): number {
  const mod = 10 ** 9 + 7;
  arr.sort((a, b) => a - b);
  const idx: Map<number, number> = new Map();
  const n = arr.length;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    idx.set(arr[i], i);
  }
  const f: number[] = new Array(n).fill(1);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    const a = arr[i];
    for (let j = 0; j < i; ++j) {
      const b = arr[j];
      if (a % b === 0) {
        const c = a / b;
        if (idx.has(c)) {
          const k = idx.get(c)!;
          f[i] = (f[i] + f[j] * f[k]) % mod;
        }
      }
    }
  }
  return f.reduce((a, b) => a + b) % mod;
}