Question

3047. 求交集区域内的最大正方形面积

English Version

题目描述

在二维平面上存在 n 个矩形。给你两个下标从 0 开始的二维整数数组 bottomLeft 和 topRight，两个数组的大小都是 n x 2 ，其中 bottomLeft[i] 和 topRight[i] 分别代表第 i 个矩形的 左下角 和 右上角 坐标。

我们定义 向右 的方向为 x 轴正半轴（x 坐标增加），向左 的方向为 x 轴负半轴（x 坐标减少）。同样地，定义 向上 的方向为 y 轴正半轴（y 坐标增加），向下 的方向为 y 轴负半轴（y 坐标减少）。

你可以选择一个区域，该区域由两个矩形的 交集 形成。你需要找出能够放入该区域 内 的 最大 正方形面积，并选择最优解。

返回能够放入交集区域的正方形的 最大 可能面积，如果矩形之间不存在任何交集区域，则返回 0。

 

示例 1：

输入：bottomLeft = [[1,1],[2,2],[3,1]], topRight = [[3,3],[4,4],[6,6]]
输出：1
解释：边长为 1 的正方形可以放入矩形 0 和矩形 1 的交集区域，或矩形 1 和矩形 2 的交集区域。因此最大面积是边长 * 边长，即 1 * 1 = 1。
可以证明，边长更大的正方形无法放入任何交集区域。

示例 2：

输入：bottomLeft = [[1,1],[2,2],[1,2]], topRight = [[3,3],[4,4],[3,4]]
输出：1
解释：边长为 1 的正方形可以放入矩形 0 和矩形 1，矩形 1 和矩形 2，或所有三个矩形的交集区域。因此最大面积是边长 * 边长，即 1 * 1 = 1。
可以证明，边长更大的正方形无法放入任何交集区域。
请注意，区域可以由多于两个矩形的交集构成。

示例 3：

输入：bottomLeft = [[1,1],[3,3],[3,1]], topRight = [[2,2],[4,4],[4,2]]
输出：0
解释：不存在相交的矩形，因此，返回 0 。

 

提示：

• n == bottomLeft.length == topRight.length
• 2 <= n <= 103
• bottomLeft[i].length == topRight[i].length == 2
• 1 <= bottomLeft[i][0], bottomLeft[i][1] <= 107
• 1 <= topRight[i][0], topRight[i][1] <= 107
• bottomLeft[i][0] < topRight[i][0]
• bottomLeft[i][1] < topRight[i][1]

解法

方法一：枚举

我们可以枚举两个矩形，其中矩形 $1$ 的左下角和右上角坐标分别为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，矩形 $2$ 的左下角和右上角坐标分别为 $(x_3, y_3)$ 和 $(x_4, y_4)$。

如果矩形 $1$ 和矩形 $2$ 有交集，那么交集的坐标分别为：

• 左下角横坐标是两个矩形左下角横坐标的最大值，即 $\max(x_1, x_3)$；
• 左下角纵坐标是两个矩形左下角纵坐标的最大值，即 $\max(y_1, y_3)$；
• 右上角横坐标是两个矩形右上角横坐标的最小值，即 $\min(x_2, x_4)$；
• 右上角纵坐标是两个矩形右上角纵坐标的最小值，即 $\min(y_2, y_4)$。

那么交集的宽和高分别为 $w = \min(x_2, x_4) - \max(x_1, x_3)$ 和 $h = \min(y_2, y_4) - \max(y_1, y_3)$。我们取两者的最小值作为边长，即 $e = \min(w, h)$，如果 $e > 0$，那么我们就可以得到一个正方形，其面积为 $e^2$，我们取所有正方形的最大面积即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，其中 $n$ 是矩形的数量。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def largestSquareArea(
    self, bottomLeft: List[List[int]], topRight: List[List[int]]
  ) -> int:
    ans = 0
    for ((x1, y1), (x2, y2)), ((x3, y3), (x4, y4)) in combinations(
      zip(bottomLeft, topRight), 2
    ):
      w = min(x2, x4) - max(x1, x3)
      h = min(y2, y4) - max(y1, y3)
      e = min(w, h)
      if e > 0:
        ans = max(ans, e * e)
    return ans

class Solution {
  public long largestSquareArea(int[][] bottomLeft, int[][] topRight) {
    long ans = 0;
    for (int i = 0; i < bottomLeft.length; ++i) {
      int x1 = bottomLeft[i][0], y1 = bottomLeft[i][1];
      int x2 = topRight[i][0], y2 = topRight[i][1];
      for (int j = i + 1; j < bottomLeft.length; ++j) {
        int x3 = bottomLeft[j][0], y3 = bottomLeft[j][1];
        int x4 = topRight[j][0], y4 = topRight[j][1];
        int w = Math.min(x2, x4) - Math.max(x1, x3);
        int h = Math.min(y2, y4) - Math.max(y1, y3);
        int e = Math.min(w, h);
        if (e > 0) {
          ans = Math.max(ans, 1L * e * e);
        }
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  long long largestSquareArea(vector<vector<int>>& bottomLeft, vector<vector<int>>& topRight) {
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < bottomLeft.size(); ++i) {
      int x1 = bottomLeft[i][0], y1 = bottomLeft[i][1];
      int x2 = topRight[i][0], y2 = topRight[i][1];
      for (int j = i + 1; j < bottomLeft.size(); ++j) {
        int x3 = bottomLeft[j][0], y3 = bottomLeft[j][1];
        int x4 = topRight[j][0], y4 = topRight[j][1];
        int w = min(x2, x4) - max(x1, x3);
        int h = min(y2, y4) - max(y1, y3);
        int e = min(w, h);
        if (e > 0) {
          ans = max(ans, 1LL * e * e);
        }
      }
    }
    return ans;
  }
};

func largestSquareArea(bottomLeft [][]int, topRight [][]int) (ans int64) {
  for i, b1 := range bottomLeft {
    t1 := topRight[i]
    x1, y1 := b1[0], b1[1]
    x2, y2 := t1[0], t1[1]
    for j := i + 1; j < len(bottomLeft); j++ {
      x3, y3 := bottomLeft[j][0], bottomLeft[j][1]
      x4, y4 := topRight[j][0], topRight[j][1]
      w := min(x2, x4) - max(x1, x3)
      h := min(y2, y4) - max(y1, y3)
      e := min(w, h)
      if e > 0 {
        ans = max(ans, int64(e)*int64(e))
      }
    }
  }
  return
}

function largestSquareArea(bottomLeft: number[][], topRight: number[][]): number {
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i < bottomLeft.length; ++i) {
    const [x1, y1] = bottomLeft[i];
    const [x2, y2] = topRight[i];
    for (let j = i + 1; j < bottomLeft.length; ++j) {
      const [x3, y3] = bottomLeft[j];
      const [x4, y4] = topRight[j];
      const w = Math.min(x2, x4) - Math.max(x1, x3);
      const h = Math.min(y2, y4) - Math.max(y1, y3);
      const e = Math.min(w, h);
      if (e > 0) {
        ans = Math.max(ans, e * e);
      }
    }
  }
  return ans;
}