Question

1064. 不动点

English Version

题目描述

给定已经按 升序 排列、由不同整数组成的数组 arr，返回满足 arr[i] == i 的最小索引 i。如果不存在这样的 i，返回 -1。

 

示例 1：

输入：arr = [-10,-5,0,3,7]
输出：3
解释：对于给定的数组，arr[0] = -10，arr[1] = -5，arr[2] = 0，arr[3] = 3，因此输出为 3 。

示例 2：

输入：arr = [0,2,5,8,17]
输出：0
解释：arr[0] = 0，因此输出为 0 。

示例 3：

输入：arr = [-10,-5,3,4,7,9]
输出：-1
解释：不存在这样的 i 满足 arr[i] = i，因此输出为 -1 。

 

提示：

• 1 <= arr.length < 104
• -109 <= arr[i] <= 109

 

进阶：时间复杂度为 O(n) 的解决方案很直观也很简单。你可以设计更优的解决方案吗？

解法

方法一：二分查找

题目给定的数组是按升序排列的，因此我们可以使用二分查找的方法找出最小的满足 $arr[i]$ 等于 $i$ 的下标 $i$。

我们定义二分查找的左边界 $left=0$，右边界 $right=n-1$。每一次，我们找到当前的中间位置 $mid$，如果中间位置满足 $arr[mid] \geq mid$，那么我们就确定了最小的不动点的位置一定不会出现在下标大于 $mid$ 的位置，因此我们令 $right=mid$；如果中间位置满足 $arr[mid] \lt mid$，那么最小的不动点一定出现在下标大于 $mid$ 的位置，因此我们令 $left=mid+1$。

最后，如果我们没有找到最小的不动点，那么我们返回 $-1$。

时间复杂度 $O(\log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def fixedPoint(self, arr: List[int]) -> int:
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left < right:
      mid = (left + right) >> 1
      if arr[mid] >= mid:
        right = mid
      else:
        left = mid + 1
    return left if arr[left] == left else -1

class Solution {
  public int fixedPoint(int[] arr) {
    int left = 0, right = arr.length - 1;
    while (left < right) {
      int mid = (left + right) >> 1;
      if (arr[mid] >= mid) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return arr[left] == left ? left : -1;
  }
}

class Solution {
public:
  int fixedPoint(vector<int>& arr) {
    int left = 0, right = arr.size() - 1;
    while (left < right) {
      int mid = left + right >> 1;
      if (arr[mid] >= mid) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return arr[left] == left ? left : -1;
  }
};

func fixedPoint(arr []int) int {
  left, right := 0, len(arr)-1
  for left < right {
    mid := (left + right) >> 1
    if arr[mid] >= mid {
      right = mid
    } else {
      left = mid + 1
    }
  }
  if arr[left] == left {
    return left
  }
  return -1
}

function fixedPoint(arr: number[]): number {
  let left = 0;
  let right = arr.length - 1;
  while (left < right) {
    const mid = (left + right) >> 1;
    if (arr[mid] >= mid) {
      right = mid;
    } else {
      left = mid + 1;
    }
  }
  return arr[left] === left ? left : -1;
}