Question

89. 格雷编码

English Version

题目描述

n 位格雷码序列 是一个由 2<sup>n</sup> 个整数组成的序列，其中：

• 每个整数都在范围 [0, 2n - 1] 内（含 0 和 2n - 1）
• 第一个整数是 0
• 一个整数在序列中出现 不超过一次
• 每对 相邻 整数的二进制表示 恰好一位不同 ，且
• 第一个 和 最后一个 整数的二进制表示 恰好一位不同

给你一个整数 n ，返回任一有效的 n 位格雷码序列 。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,3,2]
解释：
[0,1,3,2] 的二进制表示是 [00,01,11,10] 。
- 0_0_ 和 0_1_ 有一位不同
- _0_1 和 _1_1 有一位不同
- 1_1_ 和 1_0_ 有一位不同
- _1_0 和 _0_0 有一位不同
[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷码序列，其二进制表示是 [00,10,11,01] 。
- _0_0 和 _1_0 有一位不同
- 1_0_ 和 1_1_ 有一位不同
- _1_1 和 _0_1 有一位不同
- 0_1_ 和 0_0_ 有一位不同

示例 2：

输入：n = 1
输出：[0,1]

 

提示：

• 1 <= n <= 16

解法

方法一：二进制码转格雷码

格雷码是我们在工程中常会遇到的一种编码方式，它的基本的特点就是任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同。

二进制码转换成二进制格雷码，其法则是保留二进制码的最高位作为格雷码的最高位，而次高位格雷码为二进制码的高位与次高位相异或，而格雷码其余各位与次高位的求法相类似。

假设某个二进制数表示为 $B_{n-1}B_{n-2}…B_2B_1B_0$，其格雷码表示为 $G_{n-1}G_{n-2}…G_2G_1G_0$。最高位保留，所以 $G_{n-1} = B_{n-1}$；而其它各位 $G_i = B_{i+1} \oplus B_{i}$，其中 $i=0,1,2..,n-2$。

因此，对于一个整数 $x$，我们可以用函数 $gray(x)$ 得到其格雷码：

int gray(x) {
  return x ^ (x >> 1);
}

我们直接将 $[0,..2^n - 1]$ 这些整数映射成对应的格雷码，即可得到答案数组。

时间复杂度 $O(2^n)$，其中 $n$ 为题目给定的整数。忽略答案的空间消耗，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def grayCode(self, n: int) -> List[int]:
    return [i ^ (i >> 1) for i in range(1 << n)]

class Solution {
  public List<Integer> grayCode(int n) {
    List<Integer> ans = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
      ans.add(i ^ (i >> 1));
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> grayCode(int n) {
    vector<int> ans;
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
      ans.push_back(i ^ (i >> 1));
    }
    return ans;
  }
};

func grayCode(n int) (ans []int) {
  for i := 0; i < 1<<n; i++ {
    ans = append(ans, i^(i>>1))
  }
  return
}

/**
 * @param {number} n
 * @return {number[]}
 */
var grayCode = function (n) {
  const ans = [];
  for (let i = 0; i < 1 << n; ++i) {
    ans.push(i ^ (i >> 1));
  }
  return ans;
};