Question

2939. 最大异或乘积

English Version

题目描述

给你三个整数 a ，b 和 n ，请你返回 (a XOR x) * (b XOR x) 的 最大值 且 x 需要满足 0 <= x < 2n。

由于答案可能会很大，返回它对 109 + 7 取余 后的结果。

注意，XOR 是按位异或操作。

 

示例 1：

输入：a = 12, b = 5, n = 4
输出：98
解释：当 x = 2 时，(a XOR x) = 14 且 (b XOR x) = 7 。所以，(a XOR x) * (b XOR x) = 98 。
98 是所有满足 0 <= x < 2n 中 (a XOR x) * (b XOR x) 的最大值。

示例 2：

输入：a = 6, b = 7 , n = 5
输出：930
解释：当 x = 25 时，(a XOR x) = 31 且 (b XOR x) = 30 。所以，(a XOR x) * (b XOR x) = 930 。
930 是所有满足 0 <= x < 2n 中 (a XOR x) * (b XOR x) 的最大值。

示例 3：

输入：a = 1, b = 6, n = 3
输出：12
解释： 当 x = 5 时，(a XOR x) = 4 且 (b XOR x) = 3 。所以，(a XOR x) * (b XOR x) = 12 。
12 是所有满足 0 <= x < 2n 中 (a XOR x) * (b XOR x) 的最大值。

 

提示：

• 0 <= a, b < 250
• 0 <= n <= 50

解法

方法一：贪心 + 位运算

根据题目描述，我们可以给 $a$ 和 $b$ 在二进制下 $[0..n)$ 位上同时分配一个数字，最终使得 $a$ 和 $b$ 的乘积最大。

因此，我们首先提取 $a$ 和 $b$ 高于 $n$ 位的部分，分别记为 $ax$ 和 $bx$。

接下来，从大到小考虑 $[0..n)$ 位上的每一位，我们将 $a$ 和 $b$ 的当前位分别记为 $x$ 和 $y$。

如果 $x = y$，那么我们可以将 $ax$ 和 $bx$ 的当前位同时置为 $1$，因此，我们更新 $ax = ax \mid 1 << i$ 和 $bx = bx \mid 1 << i$。否则，如果 $ax \lt bx$，要使得最终的乘积最大，我们应该让 $ax$ 的当前位置为 $1$，否则我们可以将 $bx$ 的当前位置为 $1$。

最后，我们返回 $ax \times bx \bmod (10^9 + 7)$ 即为答案。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为题目给定的整数。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def maximumXorProduct(self, a: int, b: int, n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    ax, bx = (a >> n) << n, (b >> n) << n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      x = a >> i & 1
      y = b >> i & 1
      if x == y:
        ax |= 1 << i
        bx |= 1 << i
      elif ax > bx:
        bx |= 1 << i
      else:
        ax |= 1 << i
    return ax * bx % mod

class Solution {
  public int maximumXorProduct(long a, long b, int n) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    long ax = (a >> n) << n;
    long bx = (b >> n) << n;
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      long x = a >> i & 1;
      long y = b >> i & 1;
      if (x == y) {
        ax |= 1L << i;
        bx |= 1L << i;
      } else if (ax < bx) {
        ax |= 1L << i;
      } else {
        bx |= 1L << i;
      }
    }
    ax %= mod;
    bx %= mod;
    return (int) (ax * bx % mod);
  }
}

class Solution {
public:
  int maximumXorProduct(long long a, long long b, int n) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    long long ax = (a >> n) << n, bx = (b >> n) << n;
    for (int i = n - 1; ~i; --i) {
      int x = a >> i & 1, y = b >> i & 1;
      if (x == y) {
        ax |= 1LL << i;
        bx |= 1LL << i;
      } else if (ax < bx) {
        ax |= 1LL << i;
      } else {
        bx |= 1LL << i;
      }
    }
    ax %= mod;
    bx %= mod;
    return ax * bx % mod;
  }
};

func maximumXorProduct(a int64, b int64, n int) int {
  const mod int64 = 1e9 + 7
  ax := (a >> n) << n
  bx := (b >> n) << n
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    x, y := (a>>i)&1, (b>>i)&1
    if x == y {
      ax |= 1 << i
      bx |= 1 << i
    } else if ax < bx {
      ax |= 1 << i
    } else {
      bx |= 1 << i
    }
  }
  ax %= mod
  bx %= mod
  return int(ax * bx % mod)
}

function maximumXorProduct(a: number, b: number, n: number): number {
  const mod = BigInt(1e9 + 7);
  let ax = (BigInt(a) >> BigInt(n)) << BigInt(n);
  let bx = (BigInt(b) >> BigInt(n)) << BigInt(n);
  for (let i = BigInt(n - 1); ~i; --i) {
    const x = (BigInt(a) >> i) & 1n;
    const y = (BigInt(b) >> i) & 1n;
    if (x === y) {
      ax |= 1n << i;
      bx |= 1n << i;
    } else if (ax < bx) {
      ax |= 1n << i;
    } else {
      bx |= 1n << i;
    }
  }
  ax %= mod;
  bx %= mod;
  return Number((ax * bx) % mod);
}