Question

LCP 07. 传递信息

题目描述

小朋友 A 在和 ta 的小伙伴们玩传信息游戏，游戏规则如下：

1. 有 n 名玩家，所有玩家编号分别为 0 ～ n-1，其中小朋友 A 的编号为 0
2. 每个玩家都有固定的若干个可传信息的其他玩家（也可能没有）。传信息的关系是单向的（比如 A 可以向 B 传信息，但 B 不能向 A 传信息）。
3. 每轮信息必须需要传递给另一个人，且信息可重复经过同一个人

给定总玩家数 n，以及按 [玩家编号,对应可传递玩家编号] 关系组成的二维数组 relation。返回信息从小 A (编号 0 ) 经过 k 轮传递到编号为 n-1 的小伙伴处的方案数；若不能到达，返回 0。

示例 1：

输入：n = 5, relation = [[0,2],[2,1],[3,4],[2,3],[1,4],[2,0],[0,4]], k = 3

输出：3

解释：信息从小 A 编号 0 处开始，经 3 轮传递，到达编号 4。共有 3 种方案，分别是 0->2->0->4， 0->2->1->4， 0->2->3->4。

示例 2：

输入：n = 3, relation = [[0,2],[2,1]], k = 2

输出：0

解释：信息不能从小 A 处经过 2 轮传递到编号 2

限制：

• 2 <= n <= 10
• 1 <= k <= 5
• 1 <= relation.length <= 90, 且 relation[i].length == 2
• 0 <= relation[i][0],relation[i][1] < n 且 relation[i][0] != relation[i][1]

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示经过 $i$ 轮传递到编号 $j$ 的方案数，那么最终答案即为 $f[k][n-1]$。初始时 $f[0][0]=1$，其余均为 $0$。

当 $i \gt 0$ 时，对于每个玩家 $b$，考虑所有传递到他的玩家 $a$，有 $f[i][b]=\sum_{a \to b} f[i-1][a]$，其中 $a \to b$ 表示所有满足 $a$ 可以传递到 $b$ 的玩家 $a$。

最终答案即为 $f[k][n-1]$。

我们注意到 $f[i][b]$ 只与 $f[i-1][a]$ 有关，根据状态转移方程，我们可以使用滚动数组的方式，将空间复杂度优化到 $O(n)$。

时间复杂度 $O(k \times m)$，空间复杂度 $O(n)$，其中 $m$ 为 $relation$ 的长度。

class Solution:
  def numWays(self, n: int, relation: List[List[int]], k: int) -> int:
    f = [[0] * n for _ in range(k + 1)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(1, k + 1):
      for a, b in relation:
        f[i][b] += f[i - 1][a]
    return f[-1][-1]

class Solution {
  public int numWays(int n, int[][] relation, int k) {
    int[][] f = new int[k + 1][n];
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      for (int[] r : relation) {
        int a = r[0], b = r[1];
        f[i][b] += f[i - 1][a];
      }
    }
    return f[k][n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
    int f[k + 1][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      for (auto& r : relation) {
        int a = r[0], b = r[1];
        f[i][b] += f[i - 1][a];
      }
    }
    return f[k][n - 1];
  }
};

func numWays(n int, relation [][]int, k int) int {
  f := make([][]int, k+1)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
  }
  f[0][0] = 1
  for i := 1; i <= k; i++ {
    for _, r := range relation {
      a, b := r[0], r[1]
      f[i][b] += f[i-1][a]
    }
  }
  return f[k][n-1]
}

function numWays(n: number, relation: number[][], k: number): number {
  const f: number[][] = new Array(k + 1).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
  f[0][0] = 1;
  for (let i = 1; i <= k; ++i) {
    for (const [a, b] of relation) {
      f[i][b] += f[i - 1][a];
    }
  }
  return f[k][n - 1];
}

方法二

class Solution:
  def numWays(self, n: int, relation: List[List[int]], k: int) -> int:
    f = [1] + [0] * (n - 1)
    for _ in range(k):
      g = [0] * n
      for a, b in relation:
        g[b] += f[a]
      f = g
    return f[-1]

class Solution {
  public int numWays(int n, int[][] relation, int k) {
    int[] f = new int[n];
    f[0] = 1;
    while (k-- > 0) {
      int[] g = new int[n];
      for (int[] r : relation) {
        int a = r[0], b = r[1];
        g[b] += f[a];
      }
      f = g;
    }
    return f[n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int numWays(int n, vector<vector<int>>& relation, int k) {
    vector<int> f(n);
    f[0] = 1;
    while (k--) {
      vector<int> g(n);
      for (auto& r : relation) {
        int a = r[0], b = r[1];
        g[b] += f[a];
      }
      f = move(g);
    }
    return f[n - 1];
  }
};

func numWays(n int, relation [][]int, k int) int {
  f := make([]int, n)
  f[0] = 1
  for ; k > 0; k-- {
    g := make([]int, n)
    for _, r := range relation {
      a, b := r[0], r[1]
      g[b] += f[a]
    }
    f = g
  }
  return f[n-1]
}

function numWays(n: number, relation: number[][], k: number): number {
  let f: number[] = new Array(n).fill(0);
  f[0] = 1;
  while (k--) {
    const g: number[] = new Array(n).fill(0);
    for (const [a, b] of relation) {
      g[b] += f[a];
    }
    f = g;
  }
  return f[n - 1];
}