Question

122. 买卖股票的最佳时机 II

English Version

题目描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 _你能获得的 最大 利润_ 。

 

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
   随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
   总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
   总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

 

提示：

• 1 <= prices.length <= 3 * 104
• 0 <= prices[i] <= 104

解法

方法一：贪心

从第二天开始，如果当天股价大于前一天股价，则在前一天买入，当天卖出，即可获得利润。如果当天股价小于前一天股价，则不买入，不卖出。也即是说，所有上涨交易日都做买卖，所有下跌交易日都不做买卖，最终获得的利润是最大的。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组 prices 的长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
    return sum(max(0, b - a) for a, b in pairwise(prices))

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < prices.length; ++i) {
      ans += Math.max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxProfit(vector<int>& prices) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) ans += max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
    return ans;
  }
};

func maxProfit(prices []int) (ans int) {
  for i, v := range prices[1:] {
    t := v - prices[i]
    if t > 0 {
      ans += t
    }
  }
  return
}

function maxProfit(prices: number[]): number {
  let ans = 0;
  for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
    ans += Math.max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
  }
  return ans;
}

impl Solution {
  pub fn max_profit(prices: Vec<i32>) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 1..prices.len() {
      res += (0).max(prices[i] - prices[i - 1]);
    }
    res
  }
}

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
  let ans = 0;
  for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
    ans += Math.max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
  }
  return ans;
};

public class Solution {
  public int MaxProfit(int[] prices) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < prices.Length; ++i) {
      ans += Math.Max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
    }
    return ans;
  }
}

方法二：动态规划

我们设 $f[i][j]$ 表示第 $i$ 天交易完后的最大利润，其中 $j$ 表示当前是否持有股票，持有股票时 $j=0$，不持有股票时 $j=1$。初始状态为 $f[0][0]=-prices[0]$，其余状态均为 $0$。

如果当前持有股票，那么可能是前一天就持有股票，今天什么都不做，即 $f[i][0]=f[i-1][0]$；也可能是前一天不持有股票，今天买入股票，即 $f[i][0]=f[i-1][1]-prices[i]$。

如果当前不持有股票，那么可能是前一天就不持有股票，今天什么都不做，即 $f[i][1]=f[i-1][1]$；也可能是前一天持有股票，今天卖出股票，即 $f[i][1]=f[i-1][0]+prices[i]$。

因此，我们可以写出状态转移方程：

$$ \begin{cases} f[i][0]=\max(f[i-1][0],f[i-1][1]-prices[i])\ f[i][1]=\max(f[i-1][1],f[i-1][0]+prices[i]) \end{cases} $$

最终的答案即为 $f[n-1][1]$，其中 $n$ 为数组 prices 的长度。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 prices 的长度。

class Solution:
  def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
    n = len(prices)
    f = [[0] * 2 for _ in range(n)]
    f[0][0] = -prices[0]
    for i in range(1, n):
      f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1] - prices[i])
      f[i][1] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0] + prices[i])
    return f[n - 1][1]

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[][] f = new int[n][2];
    f[0][0] = -prices[0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1] - prices[i]);
      f[i][1] = Math.max(f[i - 1][1], f[i - 1][0] + prices[i]);
    }
    return f[n - 1][1];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxProfit(vector<int>& prices) {
    int n = prices.size();
    int f[n][2];
    f[0][0] = -prices[0];
    f[0][1] = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1] - prices[i]);
      f[i][1] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0] + prices[i]);
    }
    return f[n - 1][1];
  }
};

func maxProfit(prices []int) int {
  n := len(prices)
  f := make([][2]int, n)
  f[0][0] = -prices[0]
  for i := 1; i < n; i++ {
    f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][1]-prices[i])
    f[i][1] = max(f[i-1][1], f[i-1][0]+prices[i])
  }
  return f[n-1][1]
}

public class Solution {
  public int MaxProfit(int[] prices) {
    int f1 = -prices[0], f2 = 0;
    for (int i = 1; i < prices.Length; ++i)
    {
      f1 = Math.Max(f1, f2 - prices[i]);
      f2 = Math.Max(f2, f1 + prices[i]);
    }
    return f2;
  }
}

方法三：动态规划（空间优化）

我们可以发现，在方法二中，第 $i$ 天的状态，只与第 $i-1$ 天的状态有关，因此我们可以只用两个变量来维护第 $i-1$ 天的状态，从而将空间复杂度优化到 $O(1)$。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组 prices 的长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
    n = len(prices)
    f = [-prices[0], 0]
    for i in range(1, n):
      g = [0] * 2
      g[0] = max(f[0], f[1] - prices[i])
      g[1] = max(f[1], f[0] + prices[i])
      f = g
    return f[1]

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[] f = new int[] {-prices[0], 0};
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      int[] g = new int[2];
      g[0] = Math.max(f[0], f[1] - prices[i]);
      g[1] = Math.max(f[1], f[0] + prices[i]);
      f = g;
    }
    return f[1];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxProfit(vector<int>& prices) {
    int n = prices.size();
    int f[2] = {-prices[0], 0};
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      int g[2];
      g[0] = max(f[0], f[1] - prices[i]);
      g[1] = max(f[1], f[0] + prices[i]);
      f[0] = g[0], f[1] = g[1];
    }
    return f[1];
  }
};

func maxProfit(prices []int) int {
  n := len(prices)
  f := [2]int{-prices[0], 0}
  for i := 1; i < n; i++ {
    g := [2]int{}
    g[0] = max(f[0], f[1]-prices[i])
    g[1] = max(f[1], f[0]+prices[i])
    f = g
  }
  return f[1]
}