Question

空间复杂度（space complexity）用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似，只需将“运行时间”替换为“占用内存空间”。

2.4.1   算法相关空间

算法在运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种。

• 输入空间：用于存储算法的输入数据。
• 暂存空间：用于存储算法在运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据。
• 输出空间：用于存储算法的输出数据。

一般情况下，空间复杂度的统计范围是“暂存空间”加上“输出空间”。

暂存空间可以进一步划分为三个部分。

• 暂存数据：用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
• 栈帧空间：用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
• 指令空间：用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。

在分析一段程序的空间复杂度时，我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分，如图 2-15 所示。

图 2-15   算法使用的相关空间

相关代码如下：

class Node:
    """类"""
    def __init__(self, x: int):
        self.val: int = x              # 节点值
        self.next: Node | None = None  # 指向下一节点的引用

def function() -> int:
    """函数"""
    # 执行某些操作...
    return 0

def algorithm(n) -> int:  # 输入数据
    A = 0                 # 暂存数据（常量，一般用大写字母表示）
    b = 0                 # 暂存数据（变量）
    node = Node(0)        # 暂存数据（对象）
    c = function()        # 栈帧空间（调用函数）
    return A + b + c      # 输出数据

/* 结构体 */
struct Node {
    int val;
    Node *next;
    Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};

/* 函数 */
int func() {
    // 执行某些操作...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 输入数据
    const int a = 0;          // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
    int c = func();           // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}

/* 类 */
class Node {
    int val;
    Node next;
    Node(int x) { val = x; }
}

/* 函数 */
int function() {
    // 执行某些操作...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 输入数据
    final int a = 0;          // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node node = new Node(0);  // 暂存数据（对象）
    int c = function();       // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}

/* 类 */
class Node(int x) {
    int val = x;
    Node next;
}

/* 函数 */
int Function() {
    // 执行某些操作...
    return 0;
}

int Algorithm(int n) {        // 输入数据
    const int a = 0;          // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node node = new(0);       // 暂存数据（对象）
    int c = Function();       // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}

/* 结构体 */
type node struct {
    val  int
    next *node
}

/* 创建 node 结构体  */
func newNode(val int) *node {
    return &node{val: val}
}

/* 函数 */
func function() int {
    // 执行某些操作...
    return 0
}

func algorithm(n int) int { // 输入数据
    const a = 0             // 暂存数据（常量）
    b := 0                  // 暂存数据（变量）
    newNode(0)              // 暂存数据（对象）
    c := function()         // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c        // 输出数据
}

/* 类 */
class Node {
    var val: Int
    var next: Node?

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}

/* 函数 */
func function() -> Int {
    // 执行某些操作...
    return 0
}

func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
    let a = 0             // 暂存数据（常量）
    var b = 0             // 暂存数据（变量）
    let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
    let c = function()    // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c      // 输出数据
}

/* 类 */
class Node {
    val;
    next;
    constructor(val) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
        this.next = null;                       // 指向下一节点的引用
    }
}

/* 函数 */
function constFunc() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

function algorithm(n) {       // 输入数据
    const a = 0;              // 暂存数据（常量）
    let b = 0;                // 暂存数据（变量）
    const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
    const c = constFunc();    // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}

/* 类 */
class Node {
    val: number;
    next: Node | null;
    constructor(val?: number) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
        this.next = null;                       // 指向下一节点的引用
    }
}

/* 函数 */
function constFunc(): number {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

function algorithm(n: number): number { // 输入数据
    const a = 0;                        // 暂存数据（常量）
    let b = 0;                          // 暂存数据（变量）
    const node = new Node(0);           // 暂存数据（对象）
    const c = constFunc();              // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;                   // 输出数据
}

/* 类 */
class Node {
  int val;
  Node next;
  Node(this.val, [this.next]);
}

/* 函数 */
int function() {
  // 执行某些操作...
  return 0;
}

int algorithm(int n) {  // 输入数据
  const int a = 0;      // 暂存数据（常量）
  int b = 0;            // 暂存数据（变量）
  Node node = Node(0);  // 暂存数据（对象）
  int c = function();   // 栈帧空间（调用函数）
  return a + b + c;     // 输出数据
}

use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;

/* 结构体 */
struct Node {
    val: i32,
    next: Option<Rc<RefCell<Node>>>,
}

/* 创建 Node 结构体 */
impl Node {
    fn new(val: i32) -> Self {
        Self { val: val, next: None }
    }
}

/* 函数 */
fn function() -> i32 {      
    // 执行某些操作...
    return 0;
}

fn algorithm(n: i32) -> i32 {       // 输入数据
    const a: i32 = 0;               // 暂存数据（常量）
    let mut b = 0;                  // 暂存数据（变量）
    let node = Node::new(0);        // 暂存数据（对象）
    let c = function();             // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;               // 输出数据
}

/* 函数 */
int func() {
    // 执行某些操作...
    return 0;
}

int algorithm(int n) { // 输入数据
    const int a = 0;   // 暂存数据（常量）
    int b = 0;         // 暂存数据（变量）
    int c = func();    // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;  // 输出数据
}

/* 类 */
class Node(var _val: Int) {
    var next: Node? = null
}

/* 函数 */
fun function(): Int {
    // 执行某些操作...
    return 0
}

fun algorithm(n: Int): Int { // 输入数据
    val a = 0                // 暂存数据（常量）
    var b = 0                // 暂存数据（变量）
    val node = Node(0)       // 暂存数据（对象）
    val c = function()       // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c         // 输出数据
}

### 类 ###
class Node
    attr_accessor :val      # 节点值
    attr_accessor :next     # 指向下一节点的引用

    def initialize(x)
        @val = x
    end
end

### 函数 ###
def function
    # 执行某些操作...
    0
end

### 算法 ###
def algorithm(n)        # 输入数据
    a = 0               # 暂存数据（常量）
    b = 0               # 暂存数据（变量）
    node = Node.new(0)  # 暂存数据（对象）
    c = function        # 栈帧空间（调用函数）
    a + b + c           # 输出数据
end

2.4.2   推算方法

空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“操作数量”转为“使用空间大小”。

而与时间复杂度不同的是，我们通常只关注最差空间复杂度。这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。

观察以下代码，最差空间复杂度中的“最差”有两层含义。

1. 以最差输入数据为准：当 \(n < 10\) 时，空间复杂度为 \(O(1)\) ；但当 \(n > 10\) 时，初始化的数组 nums 占用 \(O(n)\) 空间，因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) 。
2. 以算法运行中的峰值内存为准：例如，程序在执行最后一行之前，占用 \(O(1)\) 空间；当初始化数组 nums 时，程序占用 \(O(n)\) 空间，因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) 。

def algorithm(n: int):
    a = 0               # O(1)
    b = [0] * 10000     # O(1)
    if n > 10:
        nums = [0] * n  # O(n)

void algorithm(int n) {
    int a = 0;               // O(1)
    vector<int> b(10000);    // O(1)
    if (n > 10)
        vector<int> nums(n); // O(n)
}

void algorithm(int n) {
    int a = 0;                   // O(1)
    int[] b = new int[10000];    // O(1)
    if (n > 10)
        int[] nums = new int[n]; // O(n)
}

void Algorithm(int n) {
    int a = 0;                   // O(1)
    int[] b = new int[10000];    // O(1)
    if (n > 10) {
        int[] nums = new int[n]; // O(n)
    }
}

func algorithm(n int) {
    a := 0                      // O(1)
    b := make([]int, 10000)     // O(1)
    var nums []int
    if n > 10 {
        nums := make([]int, n)  // O(n)
    }
    fmt.Println(a, b, nums)
}

func algorithm(n: Int) {
    let a = 0 // O(1)
    let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
    if n > 10 {
        let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
    }
}

function algorithm(n) {
    const a = 0;                   // O(1)
    const b = new Array(10000);    // O(1)
    if (n > 10) {
        const nums = new Array(n); // O(n)
    }
}

function algorithm(n: number): void {
    const a = 0;                   // O(1)
    const b = new Array(10000);    // O(1)
    if (n > 10) {
        const nums = new Array(n); // O(n)
    }
}

void algorithm(int n) {
  int a = 0;                            // O(1)
  List<int> b = List.filled(10000, 0);  // O(1)
  if (n > 10) {
    List<int> nums = List.filled(n, 0); // O(n)
  }
}

fn algorithm(n: i32) {
    let a = 0;                              // O(1)
    let b = [0; 10000];                     // O(1)
    if n > 10 {
        let nums = vec![0; n as usize];     // O(n)
    }
}

void algorithm(int n) {
    int a = 0;               // O(1)
    int b[10000];            // O(1)
    if (n > 10)
        int nums[n] = {0};   // O(n)
}

fun algorithm(n: Int) {
    val a = 0                    // O(1)
    val b = IntArray(10000)      // O(1)
    if (n > 10) {
        val nums = IntArray(n)   // O(n)
    }
}

def algorithm(n)
    a = 0                           # O(1)
    b = Array.new(10000)            # O(1)
    nums = Array.new(n) if n > 10   # O(n)
end

在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。观察以下代码：

def function() -> int:
    # 执行某些操作
    return 0

def loop(n: int):
    """循环的空间复杂度为 O(1)"""
    for _ in range(n):
        function()

def recur(n: int):
    """递归的空间复杂度为 O(n)"""
    if n == 1:
        return
    return recur(n - 1)

int func() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}

int function() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        function();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}

int Function() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
void Loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Function();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
int Recur(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    return Recur(n - 1);
}

func function() int {
    // 执行某些操作
    return 0
}

/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
func loop(n int) {
    for i := 0; i < n; i++ {
        function()
    }
}

/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
func recur(n int) {
    if n == 1 {
        return
    }
    recur(n - 1)
}

@discardableResult
func function() -> Int {
    // 执行某些操作
    return 0
}

/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
func loop(n: Int) {
    for _ in 0 ..< n {
        function()
    }
}

/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
func recur(n: Int) {
    if n == 1 {
        return
    }
    recur(n: n - 1)
}

function constFunc() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
function loop(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
function recur(n) {
    if (n === 1) return;
    return recur(n - 1);
}

function constFunc(): number {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
function loop(n: number): void {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
function recur(n: number): void {
    if (n === 1) return;
    return recur(n - 1);
}

int function() {
  // 执行某些操作
  return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
void loop(int n) {
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    function();
  }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
void recur(int n) {
  if (n == 1) return;
  return recur(n - 1);
}

fn function() -> i32 {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
fn loop(n: i32) {
    for i in 0..n {
        function();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
fn recur(n: i32) {
    if n == 1 {
        return;
    }
    recur(n - 1);
}

int func() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}

fun function(): Int {
    // 执行某些操作
    return 0
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
fun loop(n: Int) {
    for (i in 0..<n) {
        function()
    }
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
fun recur(n: Int) {
    if (n == 1) return
    return recur(n - 1)
}

def function
    # 执行某些操作
    0
end

### 循环的空间复杂度为 O(1) ###
def loop(n)
    (0...n).each { function }
end

### 递归的空间复杂度为 O(n) ###
def recur(n)
    return if n == 1
    recur(n - 1)
end

函数 loop() 和 recur() 的时间复杂度都为 \(O(n)\) ，但空间复杂度不同。

• 函数 loop() 在循环中调用了 \(n\) 次 function() ，每轮中的 function() 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 \(O(1)\) 。
• 递归函数 recur() 在运行过程中会同时存在 \(n\) 个未返回的 recur() ，从而占用 \(O(n)\) 的栈帧空间。

2.4.3   常见类型

设输入数据大小为 \(n\) ，图 2-16 展示了常见的空间复杂度类型（从低到高排列）。

\[ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} \end{aligned} \]

图 2-16   常见的空间复杂度类型

1.   常数阶 \(O(1)\)

常数阶常见于数量与输入数据大小 \(n\) 无关的常量、变量、对象。

需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，因此不会累积占用空间，空间复杂度仍为 \(O(1)\) ：

space_complexity.py

def function() -> int:
    """函数"""
    # 执行某些操作
    return 0

def constant(n: int):
    """常数阶"""
    # 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    a = 0
    nums = [0] * 10000
    node = ListNode(0)
    # 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for _ in range(n):
        c = 0
    # 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for _ in range(n):
        function()

space_complexity.cpp

/* 函数 */
int func() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
void constant(int n) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const int a = 0;
    int b = 0;
    vector<int> nums(10000);
    ListNode node(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}

space_complexity.java

/* 函数 */
int function() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
void constant(int n) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    final int a = 0;
    int b = 0;
    int[] nums = new int[10000];
    ListNode node = new ListNode(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        function();
    }
}

space_complexity.cs

/* 函数 */
int Function() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
void Constant(int n) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    int a = 0;
    int b = 0;
    int[] nums = new int[10000];
    ListNode node = new(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Function();
    }
}

space_complexity.go

/* 函数 */
func function() int {
    // 执行某些操作...
    return 0
}

/* 常数阶 */
func spaceConstant(n int) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const a = 0
    b := 0
    nums := make([]int, 10000)
    node := newNode(0)
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    var c int
    for i := 0; i < n; i++ {
        c = 0
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for i := 0; i < n; i++ {
        function()
    }
    b += 0
    c += 0
    nums[0] = 0
    node.val = 0
}

space_complexity.swift

/* 函数 */
@discardableResult
func function() -> Int {
    // 执行某些操作
    return 0
}

/* 常数阶 */
func constant(n: Int) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    let a = 0
    var b = 0
    let nums = Array(repeating: 0, count: 10000)
    let node = ListNode(x: 0)
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for _ in 0 ..< n {
        let c = 0
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for _ in 0 ..< n {
        function()
    }
}

space_complexity.js

/* 函数 */
function constFunc() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
function constant(n) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const a = 0;
    const b = 0;
    const nums = new Array(10000);
    const node = new ListNode(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}

space_complexity.ts

/* 函数 */
function constFunc(): number {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
function constant(n: number): void {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const a = 0;
    const b = 0;
    const nums = new Array(10000);
    const node = new ListNode(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}

space_complexity.dart

/* 函数 */
int function() {
  // 执行某些操作
  return 0;
}

/* 常数阶 */
void constant(int n) {
  // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
  final int a = 0;
  int b = 0;
  List<int> nums = List.filled(10000, 0);
  ListNode node = ListNode(0);
  // 循环中的变量占用 O(1) 空间
  for (var i = 0; i < n; i++) {
    int c = 0;
  }
  // 循环中的函数占用 O(1) 空间
  for (var i = 0; i < n; i++) {
    function();
  }
}

space_complexity.rs

/* 函数 */
fn function() -> i32 {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
#[allow(unused)]
fn constant(n: i32) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const A: i32 = 0;
    let b = 0;
    let nums = vec![0; 10000];
    let node = ListNode::new(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for i in 0..n {
        let c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for i in 0..n {
        function();
    }
}

space_complexity.c

/* 函数 */
int func() {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

/* 常数阶 */
void constant(int n) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const int a = 0;
    int b = 0;
    int nums[1000];
    ListNode *node = newListNode(0);
    free(node);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}

space_complexity.kt

/* 函数 */
fun function(): Int {
    // 执行某些操作
    return 0
}

/* 常数阶 */
fun constant(n: Int) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    val a = 0
    var b = 0
    val nums = Array(10000) { 0 }
    val node = ListNode(0)
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (i in 0..<n) {
        val c = 0
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (i in 0..<n) {
        function()
    }
}

space_complexity.rb

### 函数 ###
def function
  # 执行某些操作
  0
end

### 常数阶 ###
def constant(n)
  # 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
  a = 0
  nums = [0] * 10000
  node = ListNode.new

  # 循环中的变量占用 O(1) 空间
  (0...n).each { c = 0 }
  # 循环中的函数占用 O(1) 空间
  (0...n).each { function }
end

space_complexity.zig

// 函数
fn function() i32 {
    // 执行某些操作
    return 0;
}

// 常数阶
fn constant(n: i32) void {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const a: i32 = 0;
    var b: i32 = 0;
    var nums = [_]i32{0}**10000;
    var node = inc.ListNode(i32){.val = 0};
    var i: i32 = 0;
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    while (i < n) : (i += 1) {
        var c: i32 = 0;
        _ = c;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    i = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        _ = function();
    }
    _ = a;
    _ = b;
    _ = nums;
    _ = node;
}

2.   线性阶 \(O(n)\)

线性阶常见于元素数量与 \(n\) 成正比的数组、链表、栈、队列等：

space_complexity.py

def linear(n: int):
    """线性阶"""
    # 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    nums = [0] * n
    # 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    hmap = dict[int, str]()
    for i in range(n):
        hmap[i] = str(i)

space_complexity.cpp

/* 线性阶 */
void linear(int n) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    vector<int> nums(n);
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    vector<ListNode> nodes;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes.push_back(ListNode(i));
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    unordered_map<int, string> map;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        map[i] = to_string(i);
    }
}

space_complexity.java

/* 线性阶 */
void linear(int n) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    int[] nums = new int[n];
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes.add(new ListNode(i));
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        map.put(i, String.valueOf(i));
    }
}

space_complexity.cs

/* 线性阶 */
void Linear(int n) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    int[] nums = new int[n];
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    List<ListNode> nodes = [];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes.Add(new ListNode(i));
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    Dictionary<int, string> map = [];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        map.Add(i, i.ToString());
    }
}

space_complexity.go

/* 线性阶 */
func spaceLinear(n int) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    _ = make([]int, n)
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    var nodes []*node
    for i := 0; i < n; i++ {
        nodes = append(nodes, newNode(i))
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    m := make(map[int]string, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        m[i] = strconv.Itoa(i)
    }
}

space_complexity.swift

/* 线性阶 */
func linear(n: Int) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    let nums = Array(repeating: 0, count: n)
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    let nodes = (0 ..< n).map { ListNode(x: $0) }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    let map = Dictionary(uniqueKeysWithValues: (0 ..< n).map { ($0, "\($0)") })
}

space_complexity.js

/* 线性阶 */
function linear(n) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    const nums = new Array(n);
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    const nodes = [];
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nodes.push(new ListNode(i));
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    const map = new Map();
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        map.set(i, i.toString());
    }
}

space_complexity.ts

/* 线性阶 */
function linear(n: number): void {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    const nums = new Array(n);
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    const nodes: ListNode[] = [];
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nodes.push(new ListNode(i));
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    const map = new Map();
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        map.set(i, i.toString());
    }
}

space_complexity.dart

/* 线性阶 */
void linear(int n) {
  // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
  List<int> nums = List.filled(n, 0);
  // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
  List<ListNode> nodes = [];
  for (var i = 0; i < n; i++) {
    nodes.add(ListNode(i));
  }
  // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
  Map<int, String> map = HashMap();
  for (var i = 0; i < n; i++) {
    map.putIfAbsent(i, () => i.toString());
  }
}

space_complexity.rs

/* 线性阶 */
#[allow(unused)]
fn linear(n: i32) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    let mut nums = vec![0; n as usize];
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    let mut nodes = Vec::new();
    for i in 0..n {
        nodes.push(ListNode::new(i))
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    let mut map = HashMap::new();
    for i in 0..n {
        map.insert(i, i.to_string());
    }
}

space_complexity.c

/* 哈希表 */
typedef struct {
    int key;
    int val;
    UT_hash_handle hh; // 基于 uthash.h 实现
} HashTable;

/* 线性阶 */
void linear(int n) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    int *nums = malloc(sizeof(int) * n);
    free(nums);

    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    ListNode **nodes = malloc(sizeof(ListNode *) * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes[i] = newListNode(i);
    }
    // 内存释放
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        free(nodes[i]);
    }
    free(nodes);

    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    HashTable *h = NULL;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        HashTable *tmp = malloc(sizeof(HashTable));
        tmp->key = i;
        tmp->val = i;
        HASH_ADD_INT(h, key, tmp);
    }

    // 内存释放
    HashTable *curr, *tmp;
    HASH_ITER(hh, h, curr, tmp) {
        HASH_DEL(h, curr);
        free(curr);
    }
}

space_complexity.kt

/* 线性阶 */
fun linear(n: Int) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    val nums = Array(n) { 0 }
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    val nodes = mutableListOf<ListNode>()
    for (i in 0..<n) {
        nodes.add(ListNode(i))
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    val map = mutableMapOf<Int, String>()
    for (i in 0..<n) {
        map[i] = i.toString()
    }
}

space_complexity.rb

### 线性阶 ###
def linear(n)
  # 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
  nums = Array.new(n, 0)

  # 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
  hmap = {}
  for i in 0...n
    hmap[i] = i.to_s
  end
end

space_complexity.zig

// 线性阶
fn linear(comptime n: i32) !void {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    var nums = [_]i32{0}**n;
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    var nodes = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
    defer nodes.deinit();
    var i: i32 = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        try nodes.append(i);
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    var map = std.AutoArrayHashMap(i32, []const u8).init(std.heap.page_allocator);
    defer map.deinit();
    var j: i32 = 0;
    while (j < n) : (j += 1) {
        const string = try std.fmt.allocPrint(std.heap.page_allocator, "{d}", .{j});
        defer std.heap.page_allocator.free(string);
        try map.put(i, string);
    }
    _ = nums;
}

如图 2-17 所示，此函数的递归深度为 \(n\) ，即同时存在 \(n\) 个未返回的 linear_recur() 函数，使用 \(O(n)\) 大小的栈帧空间：

space_complexity.py

def linear_recur(n: int):
    """线性阶（递归实现）"""
    print("递归 n =", n)
    if n == 1:
        return
    linear_recur(n - 1)

space_complexity.cpp

/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {
    cout << "递归 n = " << n << endl;
    if (n == 1)
        return;
    linearRecur(n - 1);
}

space_complexity.java

/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {
    System.out.println("递归 n = " + n);
    if (n == 1)
        return;
    linearRecur(n - 1);
}

space_complexity.cs

/* 线性阶（递归实现） */
void LinearRecur(int n) {
    Console.WriteLine("递归 n = " + n);
    if (n == 1) return;
    LinearRecur(n - 1);
}

space_complexity.go

/* 线性阶（递归实现） */
func spaceLinearRecur(n int) {
    fmt.Println("递归 n =", n)
    if n == 1 {
        return
    }
    spaceLinearRecur(n - 1)
}

space_complexity.swift

/* 线性阶（递归实现） */
func linearRecur(n: Int) {
    print("递归 n = \(n)")
    if n == 1 {
        return
    }
    linearRecur(n: n - 1)
}

space_complexity.js

/* 线性阶（递归实现） */
function linearRecur(n) {
    console.log(`递归 n = ${n}`);
    if (n === 1) return;
    linearRecur(n - 1);
}

space_complexity.ts

/* 线性阶（递归实现） */
function linearRecur(n: number): void {
    console.log(`递归 n = ${n}`);
    if (n === 1) return;
    linearRecur(n - 1);
}

space_complexity.dart

/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {
  print('递归 n = $n');
  if (n == 1) return;
  linearRecur(n - 1);
}

space_complexity.rs

/* 线性阶（递归实现） */
fn linear_recur(n: i32) {
    println!("递归 n = {}", n);
    if n == 1 {
        return;
    };
    linear_recur(n - 1);
}

space_complexity.c

/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {
    printf("递归 n = %d\r\n", n);
    if (n == 1)
        return;
    linearRecur(n - 1);
}

space_complexity.kt

/* 线性阶（递归实现） */
fun linearRecur(n: Int) {
    println("递归 n = $n")
    if (n == 1)
        return
    linearRecur(n - 1)
}

space_complexity.rb

### 线性阶（递归实现）###
def linear_recur(n)
  puts "递归 n = #{n}"
  return if n == 1
  linear_recur(n - 1)
end

space_complexity.zig

// 线性阶（递归实现）
fn linearRecur(comptime n: i32) void {
    std.debug.print("递归 n = {}\n", .{n});
    if (n == 1) return;
    linearRecur(n - 1);
}

图 2-17   递归函数产生的线性阶空间复杂度

3.   平方阶 \(O(n^2)\)

平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 \(n\) 成平方关系：

space_complexity.py

def quadratic(n: int):
    """平方阶"""
    # 二维列表占用 O(n^2) 空间
    num_matrix = [[0] * n for _ in range(n)]

space_complexity.cpp

/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    vector<vector<int>> numMatrix;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        vector<int> tmp;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            tmp.push_back(0);
        }
        numMatrix.push_back(tmp);
    }
}

space_complexity.java

/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    int[][] numMatrix = new int[n][n];
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            tmp.add(0);
        }
        numList.add(tmp);
    }
}

space_complexity.cs

/* 平方阶 */
void Quadratic(int n) {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    int[,] numMatrix = new int[n, n];
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    List<List<int>> numList = [];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        List<int> tmp = [];
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            tmp.Add(0);
        }
        numList.Add(tmp);
    }
}

space_complexity.go

/* 平方阶 */
func spaceQuadratic(n int) {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    numMatrix := make([][]int, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        numMatrix[i] = make([]int, n)
    }
}

space_complexity.swift

/* 平方阶 */
func quadratic(n: Int) {
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    let numList = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: n), count: n)
}

space_complexity.js

/* 平方阶 */
function quadratic(n) {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    const numMatrix = Array(n)
        .fill(null)
        .map(() => Array(n).fill(null));
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    const numList = [];
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const tmp = [];
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            tmp.push(0);
        }
        numList.push(tmp);
    }
}

space_complexity.ts

/* 平方阶 */
function quadratic(n: number): void {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    const numMatrix = Array(n)
        .fill(null)
        .map(() => Array(n).fill(null));
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    const numList = [];
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const tmp = [];
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            tmp.push(0);
        }
        numList.push(tmp);
    }
}

space_complexity.dart

/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
  // 矩阵占用 O(n^2) 空间
  List<List<int>> numMatrix = List.generate(n, (_) => List.filled(n, 0));
  // 二维列表占用 O(n^2) 空间
  List<List<int>> numList = [];
  for (var i = 0; i < n; i++) {
    List<int> tmp = [];
    for (int j = 0; j < n; j++) {
      tmp.add(0);
    }
    numList.add(tmp);
  }
}

space_complexity.rs

/* 平方阶 */
#[allow(unused)]
fn quadratic(n: i32) {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    let num_matrix = vec![vec![0; n as usize]; n as usize];
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    let mut num_list = Vec::new();
    for i in 0..n {
        let mut tmp = Vec::new();
        for j in 0..n {
            tmp.push(0);
        }
        num_list.push(tmp);
    }
}

space_complexity.c

/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    int **numMatrix = malloc(sizeof(int *) * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int *tmp = malloc(sizeof(int) * n);
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            tmp[j] = 0;
        }
        numMatrix[i] = tmp;
    }

    // 内存释放
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        free(numMatrix[i]);
    }
    free(numMatrix);
}

space_complexity.kt

/* 平方阶 */
fun quadratic(n: Int) {
    // 矩阵占用 O(n^2) 空间
    val numMatrix = arrayOfNulls<Array<Int>?>(n)
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    val numList = mutableListOf<MutableList<Int>>()
    for (i in 0..<n) {
        val tmp = mutableListOf<Int>()
        for (j in 0..<n) {
            tmp.add(0)
        }
        numList.add(tmp)
    }
}

space_complexity.rb

### 平方阶 ###
def quadratic(n)
  # 二维列表占用 O(n^2) 空间
  Array.new(n) { Array.new(n, 0) }
end

space_complexity.zig

// 平方阶
fn quadratic(n: i32) !void {
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    var nodes = std.ArrayList(std.ArrayList(i32)).init(std.heap.page_allocator);
    defer nodes.deinit();
    var i: i32 = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        var tmp = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
        defer tmp.deinit();
        var j: i32 = 0;
        while (j < n) : (j += 1) {
            try tmp.append(0);
        }
        try nodes.append(tmp);
    }
}

如图 2-18 所示，该函数的递归深度为 \(n\) ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 \(n\)、\(n-1\)、\(\dots\)、\(2\)、\(1\) ，平均长度为 \(n / 2\) ，因此总体占用 \(O(n^2)\) 空间：

space_complexity.py

def quadratic_recur(n: int) -> int:
    """平方阶（递归实现）"""
    if n <= 0:
        return 0
    # 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
    nums = [0] * n
    return quadratic_recur(n - 1)

space_complexity.cpp

/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {
    if (n <= 0)
        return 0;
    vector<int> nums(n);
    cout << "递归 n = " << n << " 中的 nums 长度 = " << nums.size() << endl;
    return quadraticRecur(n - 1);
}

space_complexity.java

/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {
    if (n <= 0)
        return 0;
    // 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
    int[] nums = new int[n];
    System.out.println("递归 n = " + n + " 中的 nums 长度 = " + nums.length);
    return quadraticRecur(n - 1);
}

space_complexity.cs

/* 平方阶（递归实现） */
int QuadraticRecur(int n) {
    if (n <= 0) return 0;
    int[] nums = new int[n];
    Console.WriteLine("递归 n = " + n + " 中的 nums 长度 = " + nums.Length);
    return QuadraticRecur(n - 1);
}

space_complexity.go

/* 平方阶（递归实现） */
func spaceQuadraticRecur(n int) int {
    if n <= 0 {
        return 0
    }
    nums := make([]int, n)
    fmt.Printf("递归 n = %d 中的 nums 长度 = %d \n", n, len(nums))
    return spaceQuadraticRecur(n - 1)
}

space_complexity.swift

/* 平方阶（递归实现） */
@discardableResult
func quadraticRecur(n: Int) -> Int {
    if n <= 0 {
        return 0
    }
    // 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
    let nums = Array(repeating: 0, count: n)
    print("递归 n = \(n) 中的 nums 长度 = \(nums.count)")
    return quadraticRecur(n: n - 1)
}

space_complexity.js

/* 平方阶（递归实现） */
function quadraticRecur(n) {
    if (n <= 0) return 0;
    const nums = new Array(n);
    console.log(`递归 n = ${n} 中的 nums 长度 = ${nums.length}`);
    return quadraticRecur(n - 1);
}

space_complexity.ts

/* 平方阶（递归实现） */
function quadraticRecur(n: number): number {
    if (n <= 0) return 0;
    const nums = new Array(n);
    console.log(`递归 n = ${n} 中的 nums 长度 = ${nums.length}`);
    return quadraticRecur(n - 1);
}

space_complexity.dart

/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {
  if (n <= 0) return 0;
  List<int> nums = List.filled(n, 0);
  print('递归 n = $n 中的 nums 长度 = ${nums.length}');
  return quadraticRecur(n - 1);
}

space_complexity.rs

/* 平方阶（递归实现） */
fn quadratic_recur(n: i32) -> i32 {
    if n <= 0 {
        return 0;
    };
    // 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
    let nums = vec![0; n as usize];
    println!("递归 n = {} 中的 nums 长度 = {}", n, nums.len());
    return quadratic_recur(n - 1);
}

space_complexity.c

/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {
    if (n <= 0)
        return 0;
    int *nums = malloc(sizeof(int) * n);
    printf("递归 n = %d 中的 nums 长度 = %d\r\n", n, n);
    int res = quadraticRecur(n - 1);
    free(nums);
    return res;
}

space_complexity.kt

/* 平方阶（递归实现） */
tailrec fun quadraticRecur(n: Int): Int {
    if (n <= 0)
        return 0
    // 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
    val nums = Array(n) { 0 }
    println("递归 n = $n 中的 nums 长度 = ${nums.size}")
    return quadraticRecur(n - 1)
}

space_complexity.rb

### 平方阶（递归实现）###
def quadratic_recur(n)
  return 0 unless n > 0

  # 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
  nums = Array.new(n, 0)
  quadratic_recur(n - 1)
end

space_complexity.zig

// 平方阶（递归实现）
fn quadraticRecur(comptime n: i32) i32 {
    if (n <= 0) return 0;
    var nums = [_]i32{0}**n;
    std.debug.print("递归 n = {} 中的 nums 长度 = {}\n", .{n, nums.len});
    return quadraticRecur(n - 1);
}

图 2-18   递归函数产生的平方阶空间复杂度

4.   指数阶 \(O(2^n)\)

指数阶常见于二叉树。观察图 2-19 ，层数为 \(n\) 的“满二叉树”的节点数量为 \(2^n - 1\) ，占用 \(O(2^n)\) 空间：

space_complexity.py

def build_tree(n: int) -> TreeNode | None:
    """指数阶（建立满二叉树）"""
    if n == 0:
        return None
    root = TreeNode(0)
    root.left = build_tree(n - 1)
    root.right = build_tree(n - 1)
    return root

space_complexity.cpp

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode *buildTree(int n) {
    if (n == 0)
        return nullptr;
    TreeNode *root = new TreeNode(0);
    root->left = buildTree(n - 1);
    root->right = buildTree(n - 1);
    return root;
}

space_complexity.java

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode buildTree(int n) {
    if (n == 0)
        return null;
    TreeNode root = new TreeNode(0);
    root.left = buildTree(n - 1);
    root.right = buildTree(n - 1);
    return root;
}

space_complexity.cs

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode? BuildTree(int n) {
    if (n == 0) return null;
    TreeNode root = new(0) {
        left = BuildTree(n - 1),
        right = BuildTree(n - 1)
    };
    return root;
}

space_complexity.go

/* 指数阶（建立满二叉树） */
func buildTree(n int) *TreeNode {
    if n == 0 {
        return nil
    }
    root := NewTreeNode(0)
    root.Left = buildTree(n - 1)
    root.Right = buildTree(n - 1)
    return root
}

space_complexity.swift

/* 指数阶（建立满二叉树） */
func buildTree(n: Int) -> TreeNode? {
    if n == 0 {
        return nil
    }
    let root = TreeNode(x: 0)
    root.left = buildTree(n: n - 1)
    root.right = buildTree(n: n - 1)
    return root
}

space_complexity.js

/* 指数阶（建立满二叉树） */
function buildTree(n) {
    if (n === 0) return null;
    const root = new TreeNode(0);
    root.left = buildTree(n - 1);
    root.right = buildTree(n - 1);
    return root;
}

space_complexity.ts

/* 指数阶（建立满二叉树） */
function buildTree(n: number): TreeNode | null {
    if (n === 0) return null;
    const root = new TreeNode(0);
    root.left = buildTree(n - 1);
    root.right = buildTree(n - 1);
    return root;
}

space_complexity.dart

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode? buildTree(int n) {
  if (n == 0) return null;
  TreeNode root = TreeNode(0);
  root.left = buildTree(n - 1);
  root.right = buildTree(n - 1);
  return root;
}

space_complexity.rs

/* 指数阶（建立满二叉树） */
fn build_tree(n: i32) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    if n == 0 {
        return None;
    };
    let root = TreeNode::new(0);
    root.borrow_mut().left = build_tree(n - 1);
    root.borrow_mut().right = build_tree(n - 1);
    return Some(root);
}

space_complexity.c

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode *buildTree(int n) {
    if (n == 0)
        return NULL;
    TreeNode *root = newTreeNode(0);
    root->left = buildTree(n - 1);
    root->right = buildTree(n - 1);
    return root;
}

space_complexity.kt

/* 指数阶（建立满二叉树） */
fun buildTree(n: Int): TreeNode? {
    if (n == 0)
        return null
    val root = TreeNode(0)
    root.left = buildTree(n - 1)
    root.right = buildTree(n - 1)
    return root
}

space_complexity.rb

### 指数阶（建立满二叉树）###
def build_tree(n)
  return if n == 0

  TreeNode.new.tap do |root|
    root.left = build_tree(n - 1)
    root.right = build_tree(n - 1)
  end
end

space_complexity.zig

// 指数阶（建立满二叉树）
fn buildTree(mem_allocator: std.mem.Allocator, n: i32) !?*inc.TreeNode(i32) {
    if (n == 0) return null;
    const root = try mem_allocator.create(inc.TreeNode(i32));
    root.init(0);
    root.left = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
    root.right = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
    return root;
}

图 2-19   满二叉树产生的指数阶空间复杂度

5.   对数阶 \(O(\log n)\)

对数阶常见于分治算法。例如归并排序，输入长度为 \(n\) 的数组，每轮递归将数组从中点处划分为两半，形成高度为 \(\log n\) 的递归树，使用 \(O(\log n)\) 栈帧空间。

再例如将数字转化为字符串，输入一个正整数 \(n\) ，它的位数为 \(\lfloor \log_{10} n \rfloor + 1\) ，即对应字符串长度为 \(\lfloor \log_{10} n \rfloor + 1\) ，因此空间复杂度为 \(O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)\) 。

2.4.4   权衡时间与空间

理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常非常困难。

降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。

选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也非常重要。