Question

1510. 石子游戏 IV

English Version

题目描述

Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏，Alice 先手。

一开始，有 n 个石子堆在一起。每个人轮流操作，正在操作的玩家可以从石子堆里拿走 任意 非零 平方数 个石子。

如果石子堆里没有石子了，则无法操作的玩家输掉游戏。

给你正整数 n ，且已知两个人都采取最优策略。如果 Alice 会赢得比赛，那么返回 True ，否则返回 False 。

 

示例 1：

输入：n = 1
输出：true
解释：Alice 拿走 1 个石子并赢得胜利，因为 Bob 无法进行任何操作。

示例 2：

输入：n = 2
输出：false
解释：Alice 只能拿走 1 个石子，然后 Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（2 -> 1 -> 0）。

示例 3：

输入：n = 4
输出：true
解释：n 已经是一个平方数，Alice 可以一次全拿掉 4 个石子并赢得胜利（4 -> 0）。

示例 4：

输入：n = 7
输出：false
解释：当 Bob 采取最优策略时，Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子， Bob 会拿走 1 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0）。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子， Bob 会拿走 4 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0）。

示例 5：

输入：n = 17
输出：false
解释：如果 Bob 采取最优策略，Alice 无法赢得胜利。

 

提示：

• 1 <= n <= 10^5

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示当前石子堆中有 $i$ 个石子时，当前玩家是否能赢得比赛。如果当前玩家能赢得比赛，则返回 $true$，否则返回 $false$。那么答案即为 $dfs(n)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下：

• 如果 $i \leq 0$，说明当前玩家无法进行任何操作，因此当前玩家输掉比赛，返回 $false$；
• 否则，枚举当前玩家可以拿走的石子数量 $j$，其中 $j$ 为平方数，如果当前玩家拿走 $j$ 个石子后，另一个玩家无法赢得比赛，则当前玩家赢得比赛，返回 $true$。如果枚举完所有的 $j$，都无法满足上述条件，则当前玩家输掉比赛，返回 $false$。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，即使用数组 $f$ 记录函数 $dfs(i)$ 的计算结果。

时间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为石子堆中石子的数量。

class Solution:
  def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
    @cache
    def dfs(i: int) -> bool:
      if i == 0:
        return False
      j = 1
      while j * j <= i:
        if not dfs(i - j * j):
          return True
        j += 1
      return False

    return dfs(n)

class Solution {
  private Boolean[] f;

  public boolean winnerSquareGame(int n) {
    f = new Boolean[n + 1];
    return dfs(n);
  }

  private boolean dfs(int i) {
    if (i <= 0) {
      return false;
    }
    if (f[i] != null) {
      return f[i];
    }
    for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
      if (!dfs(i - j * j)) {
        return f[i] = true;
      }
    }
    return f[i] = false;
  }
}

class Solution {
public:
  bool winnerSquareGame(int n) {
    int f[n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    function<bool(int)> dfs = [&](int i) -> bool {
      if (i <= 0) {
        return false;
      }
      if (f[i] != 0) {
        return f[i] == 1;
      }
      for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
        if (!dfs(i - j * j)) {
          f[i] = 1;
          return true;
        }
      }
      f[i] = -1;
      return false;
    };
    return dfs(n);
  }
};

func winnerSquareGame(n int) bool {
  f := make([]int, n+1)
  var dfs func(int) bool
  dfs = func(i int) bool {
    if i <= 0 {
      return false
    }
    if f[i] != 0 {
      return f[i] == 1
    }
    for j := 1; j <= i/j; j++ {
      if !dfs(i - j*j) {
        f[i] = 1
        return true
      }
    }
    f[i] = -1
    return false
  }
  return dfs(n)
}

function winnerSquareGame(n: number): boolean {
  const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  const dfs = (i: number): boolean => {
    if (i <= 0) {
      return false;
    }
    if (f[i] !== 0) {
      return f[i] === 1;
    }
    for (let j = 1; j * j <= i; ++j) {
      if (!dfs(i - j * j)) {
        f[i] = 1;
        return true;
      }
    }
    f[i] = -1;
    return false;
  };
  return dfs(n);
}

方法二：动态规划

我们也可以使用动态规划求解本题。

定义数组 $f$，其中 $f[i]$ 表示当前石子堆中有 $i$ 个石子时，当前玩家是否能赢得比赛。如果当前玩家能赢得比赛，则 $f[i]$ 为 $true$，否则为 $false$。那么答案即为 $f[n]$。

我们在 $[1,..n]$ 的范围内枚举 $i$，并在 $[1,..i]$ 的范围内枚举 $j$，其中 $j$ 为平方数，如果当前玩家拿走 $j$ 个石子后，另一个玩家无法赢得比赛，则当前玩家赢得比赛，即 $f[i] = true$。如果枚举完所有的 $j$，都无法满足上述条件，则当前玩家输掉比赛，即 $f[i] = false$。因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i]= \begin{cases} true, & \text{if } \exists j \in [1,..i], j^2 \leq i \text{ and } f[i-j^2] = false\ false, & \text{otherwise} \end{cases} $$

最后，我们返回 $f[n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为石子堆中石子的数量。

class Solution:
  def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
    f = [False] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
      j = 1
      while j <= i // j:
        if not f[i - j * j]:
          f[i] = True
          break
        j += 1
    return f[n]

class Solution {
  public boolean winnerSquareGame(int n) {
    boolean[] f = new boolean[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
        if (!f[i - j * j]) {
          f[i] = true;
          break;
        }
      }
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  bool winnerSquareGame(int n) {
    bool f[n + 1];
    memset(f, false, sizeof(f));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
        if (!f[i - j * j]) {
          f[i] = true;
          break;
        }
      }
    }
    return f[n];
  }
};

func winnerSquareGame(n int) bool {
  f := make([]bool, n+1)
  for i := 1; i <= n; i++ {
    for j := 1; j <= i/j; j++ {
      if !f[i-j*j] {
        f[i] = true
        break
      }
    }
  }
  return f[n]
}

function winnerSquareGame(n: number): boolean {
  const f: boolean[] = new Array(n + 1).fill(false);
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    for (let j = 1; j * j <= i; ++j) {
      if (!f[i - j * j]) {
        f[i] = true;
        break;
      }
    }
  }
  return f[n];
}