Question

1039. 多边形三角剖分的最低得分

English Version

题目描述

你有一个凸的

 n 边形，其每个顶点都有一个整数值。给定一个整数数组 values ，其中 values[i] 是第 i 个顶点的值（即 顺时针顺序 ）。

假设将多边形 剖分 为 n - 2 个三角形。对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 n - 2 个三角形的值之和。

返回 _多边形进行三角剖分后可以得到的最低分_ 。
 

示例 1：

输入：values = [1,2,3]
输出：6
解释：多边形已经三角化，唯一三角形的分数为 6。

示例 2：

输入：values = [3,7,4,5]
输出：144
解释：有两种三角剖分，可能得分分别为：3*7*5 + 4*5*7 = 245，或 3*4*5 + 3*4*7 = 144。最低分数为 144。

示例 3：

输入：values = [1,3,1,4,1,5]
输出：13
解释：最低分数三角剖分的得分情况为 1*1*3 + 1*1*4 + 1*1*5 + 1*1*1 = 13。

 

提示：

• n == values.length
• 3 <= n <= 50
• 1 <= values[i] <= 100

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分后的最低分数。那么答案就是 $dfs(0, n - 1)$。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：

如果 $i + 1 = j$，说明多边形只有两个顶点，无法进行三角剖分，返回 $0$；

否则，我们枚举 $i$ 和 $j$ 之间的一个顶点 $k$，即 $i \lt k \lt j$，将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分，可以分为两个子问题：将多边形的顶点 $i$ 到 $k$ 进行三角剖分，以及将多边形的顶点 $k$ 到 $j$ 进行三角剖分。这两个子问题的最低分数分别为 $dfs(i, k)$ 和 $dfs(k, j)$，而顶点 $i$, $j$ 和 $k$ 构成的三角形的分数为 $values[i] \times values[k] \times values[j]$。那么，此次三角剖分的最低分数为 $dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] \times values[k] \times values[j]$，我们取所有可能的最小值，即为 $dfs(i, j)$ 的值。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，即使用哈希表或者数组来存储已经计算过的函数值。

最后，我们返回 $dfs(0, n - 1)$ 即可。

时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为多边形的顶点数。

class Solution:
  def minScoreTriangulation(self, values: List[int]) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int, j: int) -> int:
      if i + 1 == j:
        return 0
      return min(
        dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]
        for k in range(i + 1, j)
      )

    return dfs(0, len(values) - 1)

class Solution {
  private int n;
  private int[] values;
  private Integer[][] f;

  public int minScoreTriangulation(int[] values) {
    n = values.length;
    this.values = values;
    f = new Integer[n][n];
    return dfs(0, n - 1);
  }

  private int dfs(int i, int j) {
    if (i + 1 == j) {
      return 0;
    }
    if (f[i][j] != null) {
      return f[i][j];
    }
    int ans = 1 << 30;
    for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
      ans = Math.min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]);
    }
    return f[i][j] = ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
    int n = values.size();
    int f[n][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
      if (i + 1 == j) {
        return 0;
      }
      if (f[i][j]) {
        return f[i][j];
      }
      int ans = 1 << 30;
      for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
        ans = min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]);
      }
      return f[i][j] = ans;
    };
    return dfs(0, n - 1);
  }
};

func minScoreTriangulation(values []int) int {
  n := len(values)
  f := [50][50]int{}
  var dfs func(int, int) int
  dfs = func(i, j int) int {
    if i+1 == j {
      return 0
    }
    if f[i][j] != 0 {
      return f[i][j]
    }
    f[i][j] = 1 << 30
    for k := i + 1; k < j; k++ {
      f[i][j] = min(f[i][j], dfs(i, k)+dfs(k, j)+values[i]*values[k]*values[j])
    }
    return f[i][j]
  }
  return dfs(0, n-1)
}

function minScoreTriangulation(values: number[]): number {
  const n = values.length;
  const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array.from({ length: n }, () => 0));
  const dfs = (i: number, j: number): number => {
    if (i + 1 === j) {
      return 0;
    }
    if (f[i][j] > 0) {
      return f[i][j];
    }
    let ans = 1 << 30;
    for (let k = i + 1; k < j; ++k) {
      ans = Math.min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + values[i] * values[k] * values[j]);
    }
    f[i][j] = ans;
    return ans;
  };
  return dfs(0, n - 1);
}

方法二：动态规划

我们可以将方法一中的记忆化搜索改为动态规划。

定义 $f[i][j]$ 表示将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分后的最低分数。初始时 $f[i][j]=0$，答案为 $f[0][n-1]$。

对于 $f[i][j]$（这里要求 $i + 1 \lt j$），我们先将 $f[i][j]$ 初始化为 $\infty$。

我们枚举 $i$ 和 $j$ 之间的一个顶点 $k$，即 $i \lt k \lt j$，将多边形的顶点 $i$ 到 $j$ 进行三角剖分，可以分为两个子问题：将多边形的顶点 $i$ 到 $k$ 进行三角剖分，以及将多边形的顶点 $k$ 到 $j$ 进行三角剖分。这两个子问题的最低分数分别为 $f[i][k]$ 和 $f[k][j]$，而顶点 $i$, $j$ 和 $k$ 构成的三角形的分数为 $values[i] \times values[k] \times values[j]$。那么，此次三角剖分的最低分数为 $f[i][k] + f[k][j] + values[i] \times values[k] \times values[j]$，我们取所有可能的最小值，即为 $f[i][j]$ 的值。

综上，我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j]= \begin{cases} 0, & i+1=j \ \min_{i<k<j} {f[i][k]+f[k][j]+values[i] \times values[k] \times values[j]}, & i+1<j \end{cases} $$

注意，在枚举 $i$ 和 $j$ 时，我们可以有两种枚举方式：

1. 从大到小枚举 $i$，从小到大枚举 $j$，这样可以保证在计算状态 $f[i][j]$ 时，状态 $f[i][k]$ 和 $f[k][j]$ 都已经计算过了；
2. 从小到大枚举区间长度 $l$，其中 $3 \leq l \leq n$，然后枚举区间左端点 $i$，那么可以得到右端点 $j=i + l - 1$，这样也可以保证在计算较大区间 $f[i][j]$ 时，较小区间 $f[i][k]$ 和 $f[k][j]$ 都已经计算过了。

最后，我们返回 $f[0][n-1]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为多边形的顶点数。

相似题目：

• 1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

class Solution:
  def minScoreTriangulation(self, values: List[int]) -> int:
    n = len(values)
    f = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n - 3, -1, -1):
      for j in range(i + 2, n):
        f[i][j] = min(
          f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]
          for k in range(i + 1, j)
        )
    return f[0][-1]

class Solution {
  public int minScoreTriangulation(int[] values) {
    int n = values.length;
    int[][] f = new int[n][n];
    for (int i = n - 3; i >= 0; --i) {
      for (int j = i + 2; j < n; ++j) {
        f[i][j] = 1 << 30;
        for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
          f[i][j]
            = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
        }
      }
    }
    return f[0][n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
    int n = values.size();
    int f[n][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = n - 3; i >= 0; --i) {
      for (int j = i + 2; j < n; ++j) {
        f[i][j] = 1 << 30;
        for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
          f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
        }
      }
    }
    return f[0][n - 1];
  }
};

func minScoreTriangulation(values []int) int {
  n := len(values)
  f := [50][50]int{}
  for i := n - 3; i >= 0; i-- {
    for j := i + 2; j < n; j++ {
      f[i][j] = 1 << 30
      for k := i + 1; k < j; k++ {
        f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+values[i]*values[k]*values[j])
      }
    }
  }
  return f[0][n-1]
}

function minScoreTriangulation(values: number[]): number {
  const n = values.length;
  const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array.from({ length: n }, () => 0));
  for (let i = n - 3; i >= 0; --i) {
    for (let j = i + 2; j < n; ++j) {
      f[i][j] = 1 << 30;
      for (let k = i + 1; k < j; ++k) {
        f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
      }
    }
  }
  return f[0][n - 1];
}

方法三

class Solution:
  def minScoreTriangulation(self, values: List[int]) -> int:
    n = len(values)
    f = [[0] * n for _ in range(n)]
    for l in range(3, n + 1):
      for i in range(n - l + 1):
        j = i + l - 1
        f[i][j] = min(
          f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]
          for k in range(i + 1, j)
        )
    return f[0][-1]

class Solution {
  public int minScoreTriangulation(int[] values) {
    int n = values.length;
    int[][] f = new int[n][n];
    for (int l = 3; l <= n; ++l) {
      for (int i = 0; i + l - 1 < n; ++i) {
        int j = i + l - 1;
        f[i][j] = 1 << 30;
        for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
          f[i][j]
            = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
        }
      }
    }
    return f[0][n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
    int n = values.size();
    int f[n][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int l = 3; l <= n; ++l) {
      for (int i = 0; i + l - 1 < n; ++i) {
        int j = i + l - 1;
        f[i][j] = 1 << 30;
        for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
          f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
        }
      }
    }
    return f[0][n - 1];
  }
};

func minScoreTriangulation(values []int) int {
  n := len(values)
  f := [50][50]int{}
  for l := 3; l <= n; l++ {
    for i := 0; i+l-1 < n; i++ {
      j := i + l - 1
      f[i][j] = 1 << 30
      for k := i + 1; k < j; k++ {
        f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+values[i]*values[k]*values[j])
      }
    }
  }
  return f[0][n-1]
}

function minScoreTriangulation(values: number[]): number {
  const n = values.length;
  const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array.from({ length: n }, () => 0));
  for (let l = 3; l <= n; ++l) {
    for (let i = 0; i + l - 1 < n; ++i) {
      const j = i + l - 1;
      f[i][j] = 1 << 30;
      for (let k = i + 1; k < j; ++k) {
        f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + values[i] * values[k] * values[j]);
      }
    }
  }
  return f[0][n - 1];
}