Question

从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

7.2.1   层序遍历

如图 7-9 所示，层序遍历（level-order traversal）从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于广度优先遍历（breadth-first traversal），也称广度优先搜索（breadth-first search, BFS），它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

图 7-9   二叉树的层序遍历

1.   代码实现

广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：

binary_tree_bfs.py

def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
    """层序遍历"""
    # 初始化队列，加入根节点
    queue: deque[TreeNode] = deque()
    queue.append(root)
    # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    res = []
    while queue:
        node: TreeNode = queue.popleft()  # 队列出队
        res.append(node.val)  # 保存节点值
        if node.left is not None:
            queue.append(node.left)  # 左子节点入队
        if node.right is not None:
            queue.append(node.right)  # 右子节点入队
    return res

binary_tree_bfs.cpp

/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    queue<TreeNode *> queue;
    queue.push(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    vector<int> vec;
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode *node = queue.front();
        queue.pop();              // 队列出队
        vec.push_back(node->val); // 保存节点值
        if (node->left != nullptr)
            queue.push(node->left); // 左子节点入队
        if (node->right != nullptr)
            queue.push(node->right); // 右子节点入队
    }
    return vec;
}

binary_tree_bfs.java

/* 层序遍历 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
        list.add(node.val);           // 保存节点值
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left);   // 左子节点入队
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right);  // 右子节点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.cs

/* 层序遍历 */
List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    Queue<TreeNode> queue = new();
    queue.Enqueue(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<int> list = [];
    while (queue.Count != 0) {
        TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
        list.Add(node.val!.Value);       // 保存节点值
        if (node.left != null)
            queue.Enqueue(node.left);    // 左子节点入队
        if (node.right != null)
            queue.Enqueue(node.right);   // 右子节点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.go

/* 层序遍历 */
func levelOrder(root *TreeNode) []any {
    // 初始化队列，加入根节点
    queue := list.New()
    queue.PushBack(root)
    // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
    nums := make([]any, 0)
    for queue.Len() > 0 {
        // 队列出队
        node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
        // 保存节点值
        nums = append(nums, node.Val)
        if node.Left != nil {
            // 左子节点入队
            queue.PushBack(node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            // 右子节点入队
            queue.PushBack(node.Right)
        }
    }
    return nums
}

binary_tree_bfs.swift

/* 层序遍历 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
    // 初始化队列，加入根节点
    var queue: [TreeNode] = [root]
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    var list: [Int] = []
    while !queue.isEmpty {
        let node = queue.removeFirst() // 队列出队
        list.append(node.val) // 保存节点值
        if let left = node.left {
            queue.append(left) // 左子节点入队
        }
        if let right = node.right {
            queue.append(right) // 右子节点入队
        }
    }
    return list
}

binary_tree_bfs.js

/* 层序遍历 */
function levelOrder(root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    const queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    const list = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift(); // 队列出队
        list.push(node.val); // 保存节点值
        if (node.left) queue.push(node.left); // 左子节点入队
        if (node.right) queue.push(node.right); // 右子节点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.ts

/* 层序遍历 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
    // 初始化队列，加入根节点
    const queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    const list: number[] = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
        list.push(node.val); // 保存节点值
        if (node.left) {
            queue.push(node.left); // 左子节点入队
        }
        if (node.right) {
            queue.push(node.right); // 右子节点入队
        }
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.dart

/* 层序遍历 */
List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
  // 初始化队列，加入根节点
  Queue<TreeNode?> queue = Queue();
  queue.add(root);
  // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
  List<int> res = [];
  while (queue.isNotEmpty) {
    TreeNode? node = queue.removeFirst(); // 队列出队
    res.add(node!.val); // 保存节点值
    if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子节点入队
    if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子节点入队
  }
  return res;
}

binary_tree_bfs.rs

/* 层序遍历 */
fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
    // 初始化队列，加入根节点
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(root.clone());
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    let mut vec = Vec::new();

    while let Some(node) = que.pop_front() {
        // 队列出队
        vec.push(node.borrow().val); // 保存节点值
        if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
            que.push_back(left.clone()); // 左子节点入队
        }
        if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
            que.push_back(right.clone()); // 右子节点入队
        };
    }
    vec
}

binary_tree_bfs.c

/* 层序遍历 */
int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
    /* 辅助队列 */
    int front, rear;
    int index, *arr;
    TreeNode *node;
    TreeNode **queue;

    /* 辅助队列 */
    queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
    // 队列指针
    front = 0, rear = 0;
    // 加入根节点
    queue[rear++] = root;
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    /* 辅助数组 */
    arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    // 数组指针
    index = 0;
    while (front < rear) {
        // 队列出队
        node = queue[front++];
        // 保存节点值
        arr[index++] = node->val;
        if (node->left != NULL) {
            // 左子节点入队
            queue[rear++] = node->left;
        }
        if (node->right != NULL) {
            // 右子节点入队
            queue[rear++] = node->right;
        }
    }
    // 更新数组长度的值
    *size = index;
    arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

    // 释放辅助数组空间
    free(queue);
    return arr;
}

binary_tree_bfs.kt

/* 层序遍历 */
fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
    // 初始化队列，加入根节点
    val queue = LinkedList<TreeNode?>()
    queue.add(root)
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    val list = mutableListOf<Int>()
    while (queue.isNotEmpty()) {
        val node = queue.poll()      // 队列出队
        list.add(node?._val!!)       // 保存节点值
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left)   // 左子节点入队
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right)  // 右子节点入队
    }
    return list
}

binary_tree_bfs.rb

### 层序遍历 ###
def level_order(root)
  # 初始化队列，加入根节点
  queue = [root]
  # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
  res = []
  while !queue.empty?
    node = queue.shift # 队列出队
    res << node.val # 保存节点值
    queue << node.left unless node.left.nil? # 左子节点入队
    queue << node.right unless node.right.nil? # 右子节点入队
  end
  res
end

binary_tree_bfs.zig

// 层序遍历
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
    // 初始化队列，加入根节点
    const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
    var queue = L{};
    var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
    root_node.data = root;
    queue.append(root_node); 
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    var list = std.ArrayList(T).init(std.heap.page_allocator);
    while (queue.len > 0) {
        var queue_node = queue.popFirst().?;    // 队列出队
        var node = queue_node.data;
        try list.append(node.val);              // 保存节点值
        if (node.left != null) {
            var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
            tmp_node.data = node.left.?;
            queue.append(tmp_node);             // 左子节点入队
        }
        if (node.right != null) {
            var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
            tmp_node.data = node.right.?;
            queue.append(tmp_node);             // 右子节点入队
        }        
    }
    return list;
}

2.   复杂度分析

• 时间复杂度为 \(O(n)\) ：所有节点被访问一次，使用 \(O(n)\) 时间，其中 \(n\) 为节点数量。
• 空间复杂度为 \(O(n)\) ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 \((n + 1) / 2\) 个节点，占用 \(O(n)\) 空间。

7.2.2   前序、中序、后序遍历

相应地，前序、中序和后序遍历都属于深度优先遍历（depth-first traversal），也称深度优先搜索（depth-first search, DFS），它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

图 7-10 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。

图 7-10   二叉搜索树的前序、中序、后序遍历

1.   代码实现

深度优先搜索通常基于递归实现：

binary_tree_dfs.py

def pre_order(root: TreeNode | None):
    """前序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    res.append(root.val)
    pre_order(root=root.left)
    pre_order(root=root.right)

def in_order(root: TreeNode | None):
    """中序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    in_order(root=root.left)
    res.append(root.val)
    in_order(root=root.right)

def post_order(root: TreeNode | None):
    """后序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    post_order(root=root.left)
    post_order(root=root.right)
    res.append(root.val)

binary_tree_dfs.cpp

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    vec.push_back(root->val);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root->left);
    vec.push_back(root->val);
    inOrder(root->right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    vec.push_back(root->val);
}

binary_tree_dfs.java

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.add(root.val);
}

binary_tree_dfs.cs

/* 前序遍历 */
void PreOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.Add(root.val!.Value);
    PreOrder(root.left);
    PreOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void InOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    InOrder(root.left);
    list.Add(root.val!.Value);
    InOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void PostOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    PostOrder(root.left);
    PostOrder(root.right);
    list.Add(root.val!.Value);
}

binary_tree_dfs.go

/* 前序遍历 */
func preOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    nums = append(nums, node.Val)
    preOrder(node.Left)
    preOrder(node.Right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(node.Left)
    nums = append(nums, node.Val)
    inOrder(node.Right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(node.Left)
    postOrder(node.Right)
    nums = append(nums, node.Val)
}

binary_tree_dfs.swift

/* 前序遍历 */
func preOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.append(root.val)
    preOrder(root: root.left)
    preOrder(root: root.right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root: root.left)
    list.append(root.val)
    inOrder(root: root.right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root: root.left)
    postOrder(root: root.right)
    list.append(root.val)
}

binary_tree_dfs.js

/* 前序遍历 */
function preOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.ts

/* 前序遍历 */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.dart

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
  list.add(node.val);
  preOrder(node.left);
  preOrder(node.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
  inOrder(node.left);
  list.add(node.val);
  inOrder(node.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
  postOrder(node.left);
  postOrder(node.right);
  list.add(node.val);
}

binary_tree_dfs.rs

/* 前序遍历 */
fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    if let Some(node) = root {
        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
        result.push(node.borrow().val);
        result.extend(pre_order(node.borrow().left.as_ref()));
        result.extend(pre_order(node.borrow().right.as_ref()));
    }
    result
}

/* 中序遍历 */
fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    if let Some(node) = root {
        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
        result.extend(in_order(node.borrow().left.as_ref()));
        result.push(node.borrow().val);
        result.extend(in_order(node.borrow().right.as_ref()));
    }
    result
}

/* 后序遍历 */
fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    if let Some(node) = root {
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
        result.extend(post_order(node.borrow().left.as_ref()));
        result.extend(post_order(node.borrow().right.as_ref()));
        result.push(node.borrow().val);
    }
    result
}

binary_tree_dfs.c

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    arr[(*size)++] = root->val;
    preOrder(root->left, size);
    preOrder(root->right, size);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root->left, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
    inOrder(root->right, size);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root->left, size);
    postOrder(root->right, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
}

binary_tree_dfs.kt

/* 前序遍历 */
fun preOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.add(root._val)
    preOrder(root.left)
    preOrder(root.right)
}

/* 中序遍历 */
fun inOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left)
    list.add(root._val)
    inOrder(root.right)
}

/* 后序遍历 */
fun postOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left)
    postOrder(root.right)
    list.add(root._val)
}

binary_tree_dfs.rb

### 前序遍历 ###
def pre_order(root)
  return if root.nil?

  # 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
  $res << root.val
  pre_order(root.left)
  pre_order(root.right)
end

### 中序遍历 ###
def in_order(root)
  return if root.nil?

  # 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
  in_order(root.left)
  $res << root.val
  in_order(root.right)
end

### 后序遍历 ###
def post_order(root)
  return if root.nil?

  # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
  post_order(root.left)
  post_order(root.right)
  $res << root.val
end

binary_tree_dfs.zig

// 前序遍历
fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    try list.append(root.?.val);
    try preOrder(T, root.?.left);
    try preOrder(T, root.?.right);
}

// 中序遍历
fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    try inOrder(T, root.?.left);
    try list.append(root.?.val);
    try inOrder(T, root.?.right);
}

// 后序遍历
fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    try postOrder(T, root.?.left);
    try postOrder(T, root.?.right);
    try list.append(root.?.val);
}

Tip

深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。

图 7-11 展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。

1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。

图 7-11   前序遍历的递归过程

2.   复杂度分析

• 时间复杂度为 \(O(n)\) ：所有节点被访问一次，使用 \(O(n)\) 时间。
• 空间复杂度为 \(O(n)\) ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 \(n\) ，系统占用 \(O(n)\) 栈帧空间。