Question

1799. N 次操作后的最大分数和

English Version

题目描述

给你 nums ，它是一个大小为 2 * n 的正整数数组。你必须对这个数组执行 n 次操作。

在第 i 次操作时（操作编号从 1 开始），你需要：

• 选择两个元素 x 和 y 。
• 获得分数 i * gcd(x, y) 。
• 将 x 和 y 从 nums 中删除。

请你返回 n 次操作后你能获得的分数和最大为多少。

函数 gcd(x, y) 是 x 和 y 的最大公约数。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2]
输出：1
解释：最优操作是：
(1 * gcd(1, 2)) = 1

示例 2：

输入：nums = [3,4,6,8]
输出：11
解释：最优操作是：
(1 * gcd(3, 6)) + (2 * gcd(4, 8)) = 3 + 8 = 11

示例 3：

输入：nums = [1,2,3,4,5,6]
输出：14
解释：最优操作是：
(1 * gcd(1, 5)) + (2 * gcd(2, 4)) + (3 * gcd(3, 6)) = 1 + 4 + 9 = 14

 

提示：

• 1 <= n <= 7
• nums.length == 2 * n
• 1 <= nums[i] <= 106

解法

方法一：状态压缩 + 动态规划

我们可以先预处理得到数组 nums 中任意两个数的最大公约数，存储在二维数组 $g$ 中，其中 $g[i][j]$ 表示 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 的最大公约数。

然后定义 $f[k]$ 表示当前操作后的状态为 $k$ 时，可以获得的最大分数和。假设 $m$ 为数组 nums 中的元素个数，那么状态一共有 $2^m$ 种，即 $k$ 的取值范围为 $[0, 2^m - 1]$。

从小到大枚举所有状态，对于每个状态 $k$，先判断此状态的二进制位中 $1$ 的个数 $cnt$ 是否为偶数，是则进行如下操作：

枚举 $k$ 中二进制位为 1 的位置，假设为 $i$ 和 $j$，则 $i$ 和 $j$ 两个位置的元素可以进行一次操作，此时可以获得的分数为 $\frac{cnt}{2} \times g[i][j]$，更新 $f[k]$ 的最大值。

最终答案即为 $f[2^m - 1]$。

时间复杂度 $O(2^m \times m^2)$，空间复杂度 $O(2^m)$。其中 $m$ 为数组 nums 中的元素个数。

class Solution:
  def maxScore(self, nums: List[int]) -> int:
    m = len(nums)
    f = [0] * (1 << m)
    g = [[0] * m for _ in range(m)]
    for i in range(m):
      for j in range(i + 1, m):
        g[i][j] = gcd(nums[i], nums[j])
    for k in range(1 << m):
      if (cnt := k.bit_count()) % 2 == 0:
        for i in range(m):
          if k >> i & 1:
            for j in range(i + 1, m):
              if k >> j & 1:
                f[k] = max(
                  f[k],
                  f[k ^ (1 << i) ^ (1 << j)] + cnt // 2 * g[i][j],
                )
    return f[-1]

class Solution {
  public int maxScore(int[] nums) {
    int m = nums.length;
    int[][] g = new int[m][m];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = i + 1; j < m; ++j) {
        g[i][j] = gcd(nums[i], nums[j]);
      }
    }
    int[] f = new int[1 << m];
    for (int k = 0; k < 1 << m; ++k) {
      int cnt = Integer.bitCount(k);
      if (cnt % 2 == 0) {
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
          if (((k >> i) & 1) == 1) {
            for (int j = i + 1; j < m; ++j) {
              if (((k >> j) & 1) == 1) {
                f[k] = Math.max(
                  f[k], f[k ^ (1 << i) ^ (1 << j)] + cnt / 2 * g[i][j]);
              }
            }
          }
        }
      }
    }
    return f[(1 << m) - 1];
  }

  private int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
}

class Solution {
public:
  int maxScore(vector<int>& nums) {
    int m = nums.size();
    int g[m][m];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = i + 1; j < m; ++j) {
        g[i][j] = gcd(nums[i], nums[j]);
      }
    }
    int f[1 << m];
    memset(f, 0, sizeof f);
    for (int k = 0; k < 1 << m; ++k) {
      int cnt = __builtin_popcount(k);
      if (cnt % 2 == 0) {
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
          if (k >> i & 1) {
            for (int j = i + 1; j < m; ++j) {
              if (k >> j & 1) {
                f[k] = max(f[k], f[k ^ (1 << i) ^ (1 << j)] + cnt / 2 * g[i][j]);
              }
            }
          }
        }
      }
    }
    return f[(1 << m) - 1];
  }
};

func maxScore(nums []int) int {
  m := len(nums)
  g := [14][14]int{}
  for i := 0; i < m; i++ {
    for j := i + 1; j < m; j++ {
      g[i][j] = gcd(nums[i], nums[j])
    }
  }
  f := make([]int, 1<<m)
  for k := 0; k < 1<<m; k++ {
    cnt := bits.OnesCount(uint(k))
    if cnt%2 == 0 {
      for i := 0; i < m; i++ {
        if k>>i&1 == 1 {
          for j := i + 1; j < m; j++ {
            if k>>j&1 == 1 {
              f[k] = max(f[k], f[k^(1<<i)^(1<<j)]+cnt/2*g[i][j])
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  return f[1<<m-1]
}

func gcd(a, b int) int {
  if b == 0 {
    return a
  }
  return gcd(b, a%b)
}

function maxScore(nums: number[]): number {
  const m = nums.length;
  const f: number[] = new Array(1 << m).fill(0);
  const g: number[][] = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(m).fill(0));
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = i + 1; j < m; ++j) {
      g[i][j] = gcd(nums[i], nums[j]);
    }
  }
  for (let k = 0; k < 1 << m; ++k) {
    const cnt = bitCount(k);
    if (cnt % 2 === 0) {
      for (let i = 0; i < m; ++i) {
        if ((k >> i) & 1) {
          for (let j = i + 1; j < m; ++j) {
            if ((k >> j) & 1) {
              const t = f[k ^ (1 << i) ^ (1 << j)] + ~~(cnt / 2) * g[i][j];
              f[k] = Math.max(f[k], t);
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  return f[(1 << m) - 1];
}

function gcd(a: number, b: number): number {
  return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

function bitCount(i: number): number {
  i = i - ((i >>> 1) & 0x55555555);
  i = (i & 0x33333333) + ((i >>> 2) & 0x33333333);
  i = (i + (i >>> 4)) & 0x0f0f0f0f;
  i = i + (i >>> 8);
  i = i + (i >>> 16);
  return i & 0x3f;
}