Question

1373. 二叉搜索子树的最大键值和

English Version

题目描述

给你一棵以 root 为根的 二叉树 ，请你返回 任意 二叉搜索子树的最大键值和。

二叉搜索树的定义如下：

• 任意节点的左子树中的键值都 小于 此节点的键值。
• 任意节点的右子树中的键值都 大于 此节点的键值。
• 任意节点的左子树和右子树都是二叉搜索树。

 

示例 1：

输入：root = [1,4,3,2,4,2,5,null,null,null,null,null,null,4,6]
输出：20
解释：键值为 3 的子树是和最大的二叉搜索树。

示例 2：

输入：root = [4,3,null,1,2]
输出：2
解释：键值为 2 的单节点子树是和最大的二叉搜索树。

示例 3：

输入：root = [-4,-2,-5]
输出：0
解释：所有节点键值都为负数，和最大的二叉搜索树为空。

示例 4：

输入：root = [2,1,3]
输出：6

示例 5：

输入：root = [5,4,8,3,null,6,3]
输出：7

 

提示：

• 每棵树有 1 到 40000 个节点。
• 每个节点的键值在 [-4 * 10^4 , 4 * 10^4] 之间。

解法

方法一：DFS

判断一棵树是否是二叉搜索树，需要满足以下四个条件：

• 左子树是二叉搜索树；
• 右子树是二叉搜索树；
• 左子树的最大值小于根节点的值；
• 右子树的最小值大于根节点的值。

因此，我们设计一个函数 $dfs(root)$，函数的返回值是一个四元组 $(bst, mi, mx, s)$，其中：

• 数字 $bst$ 表示以 $root$ 为根的树是否是二叉搜索树。如果是二叉搜索树，则 $bst = 1$；否则 $bst = 0$；
• 数字 $mi$ 表示以 $root$ 为根的树的最小值；
• 数字 $mx$ 表示以 $root$ 为根的树的最大值；
• 数字 $s$ 表示以 $root$ 为根的树的所有节点的和。

函数 $dfs(root)$ 的执行逻辑如下：

如果 $root$ 为空节点，则返回 $(1, +\infty, -\infty, 0)$，表示空树是二叉搜索树，最小值和最大值分别为正无穷和负无穷，节点和为 $0$。

否则，递归计算 $root$ 的左子树和右子树，分别得到 $(lbst, lmi, lmx, ls)$ 和 $(rbst, rmi, rmx, rs)$，然后判断 $root$ 节点是否满足二叉搜索树的条件。

如果满足 $lbst = 1$ 且 $rbst = 1$ 且 $lmx \lt root.val \lt rmi$，则以 $root$ 为根的树是二叉搜索树，节点和 $s= ls + rs + root.val$。我们更新答案 $ans = \max(ans, s)$，并返回 $(1, \min(lmi, root.val), \max(rmx, root.val), s)$。

否则，以 $root$ 为根的树不是二叉搜索树，我们返回 $(0, 0, 0, 0)$。

我们在主函数中调用 $dfs(root)$，执行完毕后，答案即为 $ans$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是二叉树的节点数。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#   def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#     self.val = val
#     self.left = left
#     self.right = right
class Solution:
  def maxSumBST(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
    def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> tuple:
      if root is None:
        return 1, inf, -inf, 0
      lbst, lmi, lmx, ls = dfs(root.left)
      rbst, rmi, rmx, rs = dfs(root.right)
      if lbst and rbst and lmx < root.val < rmi:
        nonlocal ans
        s = ls + rs + root.val
        ans = max(ans, s)
        return 1, min(lmi, root.val), max(rmx, root.val), s
      return 0, 0, 0, 0

    ans = 0
    dfs(root)
    return ans

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode left;
 *   TreeNode right;
 *   TreeNode() {}
 *   TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *   TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *     this.val = val;
 *     this.left = left;
 *     this.right = right;
 *   }
 * }
 */
class Solution {
  private int ans;
  private final int inf = 1 << 30;

  public int maxSumBST(TreeNode root) {
    dfs(root);
    return ans;
  }

  private int[] dfs(TreeNode root) {
    if (root == null) {
      return new int[] {1, inf, -inf, 0};
    }
    var l = dfs(root.left);
    var r = dfs(root.right);
    int v = root.val;
    if (l[0] == 1 && r[0] == 1 && l[2] < v && r[1] > v) {
      int s = v + l[3] + r[3];
      ans = Math.max(ans, s);
      return new int[] {1, Math.min(l[1], v), Math.max(r[2], v), s};
    }
    return new int[4];
  }
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode *left;
 *   TreeNode *right;
 *   TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *   TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *   TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
  int maxSumBST(TreeNode* root) {
    int ans = 0;
    const int inf = 1 << 30;

    function<vector<int>(TreeNode*)> dfs = [&](TreeNode* root) {
      if (!root) {
        return vector<int>{1, inf, -inf, 0};
      }
      auto l = dfs(root->left);
      auto r = dfs(root->right);
      int v = root->val;
      if (l[0] && r[0] && l[2] < v && v < r[1]) {
        int s = l[3] + r[3] + v;
        ans = max(ans, s);
        return vector<int>{1, min(l[1], v), max(r[2], v), s};
      }
      return vector<int>(4);
    };
    dfs(root);
    return ans;
  }
};

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *   Val int
 *   Left *TreeNode
 *   Right *TreeNode
 * }
 */
func maxSumBST(root *TreeNode) (ans int) {
  const inf = 1 << 30
  var dfs func(root *TreeNode) [4]int
  dfs = func(root *TreeNode) [4]int {
    if root == nil {
      return [4]int{1, inf, -inf, 0}
    }
    l, r := dfs(root.Left), dfs(root.Right)
    if l[0] == 1 && r[0] == 1 && l[2] < root.Val && root.Val < r[1] {
      s := l[3] + r[3] + root.Val
      ans = max(ans, s)
      return [4]int{1, min(l[1], root.Val), max(r[2], root.Val), s}
    }
    return [4]int{}
  }
  dfs(root)
  return
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * class TreeNode {
 *   val: number
 *   left: TreeNode | null
 *   right: TreeNode | null
 *   constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
 *     this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *     this.left = (left===undefined ? null : left)
 *     this.right = (right===undefined ? null : right)
 *   }
 * }
 */

function maxSumBST(root: TreeNode | null): number {
  const inf = 1 << 30;
  let ans = 0;
  const dfs = (root: TreeNode | null): [boolean, number, number, number] => {
    if (!root) {
      return [true, inf, -inf, 0];
    }
    const [lbst, lmi, lmx, ls] = dfs(root.left);
    const [rbst, rmi, rmx, rs] = dfs(root.right);
    if (lbst && rbst && lmx < root.val && root.val < rmi) {
      const s = ls + rs + root.val;
      ans = Math.max(ans, s);
      return [true, Math.min(lmi, root.val), Math.max(rmx, root.val), s];
    }
    return [false, 0, 0, 0];
  };
  dfs(root);
  return ans;
}