Question

2683. 相邻值的按位异或

English Version

题目描述

下标从 0 开始、长度为 n 的数组 derived 是由同样长度为 n 的原始 二进制数组 original 通过计算相邻值的 按位异或（⊕）派生而来。

特别地，对于范围 [0, n - 1] 内的每个下标 i ：

• 如果 i = n - 1 ，那么 derived[i] = original[i] ⊕ original[0]
• 否则 derived[i] = original[i] ⊕ original[i + 1]

给你一个数组 derived ，请判断是否存在一个能够派生得到 derived 的 有效原始二进制数组 original 。

如果存在满足要求的原始二进制数组，返回 _true _；否则，返回_ false _。

• 二进制数组是仅由 0 和 1 组成的数组。

 

示例 1：

输入：derived = [1,1,0]
输出：true
解释：能够派生得到 [1,1,0] 的有效原始二进制数组是 [0,1,0] ：
derived[0] = original[0] ⊕ original[1] = 0 ⊕ 1 = 1 
derived[1] = original[1] ⊕ original[2] = 1 ⊕ 0 = 1
derived[2] = original[2] ⊕ original[0] = 0 ⊕ 0 = 0

示例 2：

输入：derived = [1,1]
输出：true
解释：能够派生得到 [1,1] 的有效原始二进制数组是 [0,1] ：
derived[0] = original[0] ⊕ original[1] = 1
derived[1] = original[1] ⊕ original[0] = 1

示例 3：

输入：derived = [1,0]
输出：false
解释：不存在能够派生得到 [1,0] 的有效原始二进制数组。

 

提示：

• n == derived.length
• 1 <= n <= 105
• derived 中的值不是 0 就是 1 。

解法

方法一：位运算

我们不妨假设原始二进制数组为 $a$，派生数组为 $b$，那么有：

$$ b_0 = a_0 \oplus a_1 \ b_1 = a_1 \oplus a_2 \ \cdots \ b_{n-1} = a_{n-1} \oplus a_0 $$

由于异或运算满足交换律和结合律，因此有：

$$ b_0 \oplus b_1 \oplus \cdots \oplus b_{n-1} = (a_0 \oplus a_1) \oplus (a_1 \oplus a_2) \oplus \cdots \oplus (a_{n-1} \oplus a_0) = 0 $$

因此，只要派生数组的所有元素的异或和为 $0$，就一定存在一个满足要求的原始二进制数组。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def doesValidArrayExist(self, derived: List[int]) -> bool:
    return reduce(xor, derived) == 0

class Solution {
  public boolean doesValidArrayExist(int[] derived) {
    int s = 0;
    for (int x : derived) {
      s ^= x;
    }
    return s == 0;
  }
}

class Solution {
public:
  bool doesValidArrayExist(vector<int>& derived) {
    int s = 0;
    for (int x : derived) {
      s ^= x;
    }
    return s == 0;
  }
};

func doesValidArrayExist(derived []int) bool {
  s := 0
  for _, x := range derived {
    s ^= x
  }
  return s == 0
}

function doesValidArrayExist(derived: number[]): boolean {
  let s = 0;
  for (const x of derived) {
    s ^= x;
  }
  return s === 0;
}

方法二

function doesValidArrayExist(derived: number[]): boolean {
  return derived.reduce((acc, x) => acc ^ x, 0) === 0;
}