Question

842. 将数组拆分成斐波那契序列

English Version

题目描述

给定一个数字字符串 num，比如 "123456579"，我们可以将它分成「斐波那契式」的序列 [123, 456, 579]。

形式上，斐波那契式 序列是一个非负整数列表 f，且满足：

• 0 <= f[i] < 231 ，（也就是说，每个整数都符合 32 位 有符号整数类型）
• f.length >= 3
• 对于所有的0 <= i < f.length - 2，都有 f[i] + f[i + 1] = f[i + 2]

另外，请注意，将字符串拆分成小块时，每个块的数字一定不要以零开头，除非这个块是数字 0 本身。

返回从 num 拆分出来的任意一组斐波那契式的序列块，如果不能拆分则返回 []。

 

示例 1：

输入：num = "1101111"
输出：[11,0,11,11]
解释：输出[110,1,111]也可以。

示例 2：

输入: num = "112358130"
输出: []
解释: 无法拆分。

示例 3：

输入："0123"
输出：[]
解释：每个块的数字不能以零开头，因此 "01"，"2"，"3" 不是有效答案。

 

提示：

• 1 <= num.length <= 200
• num 中只含有数字

解法

方法一：回溯 + 剪枝

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示从字符串 $num$ 的第 $i$ 个字符开始拆分，拆分出的斐波那契式序列是否满足题目要求。如果满足，我们就返回 $true$，否则返回 $false$。

函数 $dfs(i)$ 的具体实现如下：

如果 $i$ 等于字符串 $num$ 的长度，说明我们已经拆分完整个字符串，此时我们只需要判断拆分出的序列的长度是否大于 $2$ 即可。如果大于 $2$，说明我们找到了一组满足题目要求的斐波那契式序列，返回 $true$；否则返回 $false$。

如果 $i$ 小于字符串 $num$ 的长度，我们需要枚举拆分出的第一个数 $x$，如果 $x$ 的长度大于 $1$，且以 $0$ 开头，说明 $x$ 不是一个合法的数，我们直接返回 $false$。否则我们将 $x$ 转换成十进制数，如果 $x$ 大于 $2^{31} - 1$，或者 $x$ 大于 $ans$ 的最后两个数之和，直接返回 $false$。如果 $ans$ 的长度小于 $2$，或者 $x$ 等于 $ans$ 的最后两个数之和，我们将 $x$ 加入到 $ans$ 中，然后继续拆分字符串 $num$ 的后面的部分，如果返回 $true$，说明我们找到了一组满足题目要求的斐波那契式序列，返回 $true$；否则我们将 $x$ 从 $ans$ 中移除，然后继续枚举拆分出的第一个数 $x$。

时间复杂度 $O(n \times \log^2 M)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 和 $M$ 分别是字符串 $num$ 的长度和整型数的最大值。

class Solution:
  def splitIntoFibonacci(self, num: str) -> List[int]:
    def dfs(i):
      if i == n:
        return len(ans) > 2
      x = 0
      for j in range(i, n):
        if j > i and num[i] == '0':
          break
        x = x * 10 + int(num[j])
        if x > 2**31 - 1 or (len(ans) > 2 and x > ans[-2] + ans[-1]):
          break
        if len(ans) < 2 or ans[-2] + ans[-1] == x:
          ans.append(x)
          if dfs(j + 1):
            return True
          ans.pop()
      return False

    n = len(num)
    ans = []
    dfs(0)
    return ans

class Solution {
  private List<Integer> ans = new ArrayList<>();
  private String num;

  public List<Integer> splitIntoFibonacci(String num) {
    this.num = num;
    dfs(0);
    return ans;
  }

  private boolean dfs(int i) {
    if (i == num.length()) {
      return ans.size() >= 3;
    }
    long x = 0;
    for (int j = i; j < num.length(); ++j) {
      if (j > i && num.charAt(i) == '0') {
        break;
      }
      x = x * 10 + num.charAt(j) - '0';
      if (x > Integer.MAX_VALUE
        || (ans.size() >= 2 && x > ans.get(ans.size() - 1) + ans.get(ans.size() - 2))) {
        break;
      }
      if (ans.size() < 2 || x == ans.get(ans.size() - 1) + ans.get(ans.size() - 2)) {
        ans.add((int) x);
        if (dfs(j + 1)) {
          return true;
        }
        ans.remove(ans.size() - 1);
      }
    }
    return false;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> splitIntoFibonacci(string num) {
    int n = num.size();
    vector<int> ans;
    function<bool(int)> dfs = [&](int i) -> bool {
      if (i == n) {
        return ans.size() > 2;
      }
      long long x = 0;
      for (int j = i; j < n; ++j) {
        if (j > i && num[i] == '0') {
          break;
        }
        x = x * 10 + num[j] - '0';
        if (x > INT_MAX || (ans.size() > 1 && x > (long long) ans[ans.size() - 1] + ans[ans.size() - 2])) {
          break;
        }
        if (ans.size() < 2 || x == (long long) ans[ans.size() - 1] + ans[ans.size() - 2]) {
          ans.push_back(x);
          if (dfs(j + 1)) {
            return true;
          }
          ans.pop_back();
        }
      }
      return false;
    };
    dfs(0);
    return ans;
  }
};

func splitIntoFibonacci(num string) []int {
  n := len(num)
  ans := []int{}
  var dfs func(int) bool
  dfs = func(i int) bool {
    if i == n {
      return len(ans) > 2
    }
    x := 0
    for j := i; j < n; j++ {
      if j > i && num[i] == '0' {
        break
      }
      x = x*10 + int(num[j]-'0')
      if x > math.MaxInt32 || (len(ans) > 1 && x > ans[len(ans)-1]+ans[len(ans)-2]) {
        break
      }
      if len(ans) < 2 || x == ans[len(ans)-1]+ans[len(ans)-2] {
        ans = append(ans, x)
        if dfs(j + 1) {
          return true
        }
        ans = ans[:len(ans)-1]
      }
    }
    return false
  }
  dfs(0)
  return ans
}